2024届荆州市重点中学数学高二上期末达标检测试题含解析

2024届荆州市重点中学数学高二上期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：32．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.3．为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用，促进教育的均衡发展，共享优质教育资源．现分派我市“示范性高中”的5名教师到，，三所薄弱学校支教，开展送教下乡活动，每所学校至少分派一人，其中教师甲不能到学校，则不同分派方案的种数是（）A.150 B.136C.124 D.1004．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（）售价99.51010.511销售量1110865A.B.售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位C.当时，的估计值为12.8D.销售量与售价成正相关5．已知{}为等比数列.，则＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.166．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为()A. B.C. D.7．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A.14 B.20C.30 D.558．在等差数列{}中，，，则的值为（）A.18 B.20C.22 D.249．为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2，3，4，5进行射门训练，他们的进球次数如折线图所示，则在这次训练中以下说法正确的是（）A.甲队球员进球的中位数比乙队大 B.乙队球员进球的中位数比甲队大C.乙队球员进球水平比甲队稳定 D.甲队球员进球数的极差比乙队小10．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.411．已知，若，则（）A. B.2C. D.e12．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______14．若函数，则_______15．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．X1491625Y2a369314216．桌面排列着100个乒乓球，两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球人为胜利者．条件是：每次拿走球的个数至少要拿1个，但最多又不能超过5个，这个游戏中，先手是有必胜策略的，请问：如果你是最先拿球的人，为了保证最后赢得这个游戏，你第一次该拿走___个球三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.18．（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.（1）若直线的斜率为1，求；（2）若，求直线的方程.19．（12分）在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列，并求数学期望；②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.20．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，（1）若为中点，求证平面；（2）若，求面与面的夹角的余弦值.21．（12分）如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线和所成角的大小.22．（10分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代码1234人均年纯收入y/百元25283235（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）参考公式：，参考数据：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.【详解】由椭圆方程可得：,设点坐标为，线段的中点为，因为线段中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，不妨取,则，所以，故选：A.2、C【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C3、D【解析】对甲所在组的人数分类讨论即得解.【详解】当甲一个人去一个学校时，有种；当甲所在的学校有两个老师时，有种；当甲所在的学校有三个老师时，有种；所以共有28+48+24=100种.故选：D【点睛】方法点睛：排列组合常用方法有：简单问题直接法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.4、D【解析】首先求出、，再根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再根据回归直线方程的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，与回归直线方程，恒过定点，，解得，故A正确，所以回归直线方程为，即售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位，故B正确；当时，即当时，的估计值为12.8，故C正确；因为回归直线方程为，所以销售量与售价成负相关，故D错误；故选：D5、B【解析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.【详解】由题意，设公比为q，则，则.故选：B.6、B【解析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.【详解】由题意，，，，，，到直线的距离为.故选：B.7、C【解析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出值【详解】解：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=1+22=5，i=3；第三次循环S=5+32=14，i=4；第四次循环S=14+42=30，i=5；此时5>4，跳出循环，故输出的值为30故选：C.8、B【解析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.故选：B9、C【解析】根据折线图，求出甲乙中位数、平均数及方差、极差，即可判断各选项的正误.【详解】由题图，甲队数据从小到大排序为，乙队数据从小到大排序为，所以甲乙两队的平均数都为5，甲、乙进球中位数相同都为5，A、B错误；甲队方差为，乙队方差为，即，故乙队球员进球水平比甲队稳定，C正确.甲队极差为6，乙队极差为4，故甲队极差比乙队大，D错误.故选：C10、A【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.11、B【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B12、D【解析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.【详解】函数的定义域为，，在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分离参数得，所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为,则，由N是的中点，O为得中点，,故,又，所以，故答案为：414、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：15、17【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【详解】因为，，所以，解得故答案为：1716、4【解析】根据题意，由游戏规则，结合余数的性质，分析可得答案【详解】解：根据题意，第一次该拿走4个球，以后的取球过程中，对方取个，自己取个，由于，则自己一定可以取到第100个球.故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；小问1详解】证明：连接DE因为，且D为AC的中点，所以因为，且D为AC的中点，所以因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面因为，所以平面BDE，所以【小问2详解】解：由（1）可知因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设．则，，．从而，设平面BCE的法向量为，则令，得平面ABC的一个法向量为设二面角为，由图可知为锐角，则18、（1）8（2）【解析】（1）设，由，进而结合抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，最后求得答案；（2）由，所以，设出直线方程并代入抛物线方程，进而结合根与系数的关系求得答案.【小问1详解】设，抛物线的准线方程为：，因为，由抛物线定义可知，.直线，代入抛物线方程化简得：，则，所以.【小问2详解】设，代入抛物线方程化简得：，所以，因为，所以，于是则直线的方程为：.19、（1）65分（2）①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元【解析】（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案【小问1详解】这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.【小问2详解】①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，X的可能取值分别为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123P故.②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），所以元，故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证，，再证平面即可；（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.小问1详解】取中点，连接，则四边形为平行四边形，，为直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小问2详解】，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图令，则，设面的法向量为，则由得取，则设面的法向量为，则由得取，则设面与面的夹角为，则所以面与面的夹角的余弦值为.21、（1）（2）【解析】（1）由题意可知该四面体为以为底面，以为高的四面体，可得四面体体积；（2）连接，，可得即为异面直线和所成的角的平面角，根