安徽省合肥市巢湖市2023年数学高二上期末联考模拟试题含解析

安徽省合肥市巢湖市2023年数学高二上期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.2．观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A. B.C. D.3．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-24．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（）A. B.C. D.5．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.6．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（）A. B.C. D.7．已知直线，，若，则实数的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-38．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（）A.当时，平面 B.当时，平面C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，9．已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（）A. B.C. D.11．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.12．直线在轴上的截距为（）A.3 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则_________.若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则________.15．在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为___________.16．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.18．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.19．（12分）已知椭圆，斜率为的动直线与椭圆交于A，B两点，且直线与圆相切.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形的面积的取值范围.20．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21．（12分）已知函数.（1）设x=2是函数f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；（2）证明：当时，.22．（10分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.2、D【解析】利用观察法可得，即得.【详解】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D3、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示4、B【解析】由题意结合几何性质可得为等腰三角形，且，所以，求出的长，结合椭圆的定义可得答案.【详解】如图，由题意轴，轴，则又为的中点，则为的中点，又，则为等腰三角形，且，所以将代入椭圆方程得，，即所以，则由椭圆的定义可得，即则椭圆的离心率故选：B5、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.6、A【解析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，设则，则，，令，则它对应直线由整理得由判别式解得即，则的最小值为故选：A7、C【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.【详解】由知：,解得：或故选：C.8、D【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；设到的距离为，则，当的面积最小时，，故正确故选：9、B【解析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围.【详解】的圆心为,半径，的圆心为,半径，圆心距，∴两圆相离，∴，故选：B.10、B【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设是中点，.故选：B11、D【解析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：，由双曲线对称性知，，于是得，即，又双曲线半焦距c=2，所以双曲线的离心率.故选：D【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.12、A【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值【详解】解：过作交于点，作交于点，由，得，由角平分线定理；因为为的中点，所以，由双曲线的定义，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题14、①.②.【解析】第一空，直接套入“黄金椭圆”新定义即可，第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可【详解】由题，，所以如图，连接，设内切圆半径为，则，即，∴，∴，∴∴，∴故答案为：；【点睛】本题从新定义出发，第一空直接套用定义可得答案，第二空升华，需要在理解新定义的基础上，借助内切圆的相关公式求解，层层递进，是一道好题．关键点在于找到“”这一关系15、【解析】首先根据已知条件得到，再结合双曲线的几何性质求解即可.【详解】如图所示：，，所以，即.设，则，.即，，，，所以，渐近线方程为.故答案为：16、【解析】设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.【详解】解：圆的圆心为，半径长为，设点，由点为椭圆上的动点，可得：且，由为圆的任意一条直径可得：，，，，，当时，取得最大值，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，【小问2详解】过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，则，所以设因为平面，所以所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，所以，解得，所以，，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.【小问1详解】以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.【小问2详解】，设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.19、（1）或（2）【解析】（1）设直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，求出，即可得解；（2）设，，，利用圆心到直线的距离等于半径，得到，再联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再根据及基本不等式求出，最后再计算直线斜率不存在时三角形的面积，即可得解；【小问1详解】解：圆，圆心为，半径；设直线，即，则，解得，所以或；【小问2详解】解：因为直线的斜率存在，设，，，即，则，所以，即，联立，消元整理得，所以，，所以所以因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当轴时，取，，则，此时，所以；20、（1）证明见解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.【小问1详解】证明：连接BD，设BD与AC交于点O，连接PO．因为，所以四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则又，所以平面PBD，因为平面PBD，所以【小问2详解】因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面AEC的法向量，则，即，令，则平面ACD的法向量，，所以二面角为；【小问3详解】存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：由（2）得，，设，则，所以点F到平面AEC的距离，解得，，所以21、（1），的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析；【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再根据导函数与函数的单调性的关系求出函数的单调区间；（2）依题意可得，令，即证，，又，所以即证，令，利用导数说明其单调性，即可得解；【详解】解：（1）因为，定义域为，所以，因为是函数的极值点，所以，所以，解得，所以，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以上单调递增，综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明：依题意即证，即证，令，则，所以即证，因为，所以即证，令，则，所以当时，，当时，所以，所以，所以当时，22、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目