群的等价定义和证明

群的等价定义和证明

群体是抽象代表的最基本、最重要的概念和主要内容之一。因此，理解和理解集群的含义是学习和掌握抽象代数的关键问题之一。因此，描述了五种不同的集群价格定义和证明。定义Ⅰ代数系统<G,·>为群,如果以下条件被满足:1、结合律成立:(ab)c=a(bc),∀a、b、c∈G.2、G中至少存在一个叫左单位元的元e,使得对∀a∈G,有ea=a.3、对G中每一个元a,在G中至少存在一个叫左逆元的b,使得ba=e.定义Ⅱ代数系统〈G,·〉为群,如果下列条件被满足:1、结合律成立:ab(c)=a(bc),∀a、b、c∈G.2、在G中至少存在一个叫右单元元的元e,使得对∀a∈G,有ae=a.3、对G中每一个元a,在G中至少存在一个叫右逆元b,使得ab=e.定义Ⅲ代数系统〈G,·〉为群,如果以下条件被满足:1、结合律成立:(ab)c=a(bc),∀a、b、c∈G.2、对∀a、b∈G,方程ax=b、ya=b在G里有解.定义Ⅳ代数系统〈G,·〉为群,如果下列条件被满足:1、结合律成立:(ab)c=a(bc),∀a、b、c∈G.2、在G中,存在着唯一的右单位元e,使得对∀a∈G,有ae=a.3、对G中每一个元a,在G中存在着相应的一个左逆元a′,使得a′a=e.定义Ⅴ代数系统〈G,·〉为群,如果下列条件被满足:1、结合律成立:(ab)c=a(bc),∀a、b、c∈G.2、在G中存在着唯一的左单位元e,使得对∀a∈G,有ea=a.3、对G中每一个元a,在G中存在着相应的一个右逆元a′,使得aa′=e.为了证明上述五种群的定义的等价性,将采用下列形式证明之:Ⅰ⇒Ⅱ⇒Ⅲ⇒Ⅳ⇒Ⅴ⇒Ⅰ.(一)证明Ⅰ⇒Ⅱ:在定义Ⅱ中,条件1,结合律显然成立.在定义Ⅰ条件3中,因b∈G,对b至少存在一个c∈G,使得cb=e.于是有:a=ea=(cb)a=c(ba)=ce.两边右乘以b得:ab=(ce)b=c(eb)=cb=e.因ba=e,ab=e,故b为a的右逆元.由此定义Ⅱ中条件3得证.在定义Ⅰ的条件2中,对∀a∈G,有ea=a,取b∈G,使得ba=e⇒ab=e,于是有a=ea=(ab)a=a(ba)=ae.故e为a的右单位元.由此定义Ⅱ中条件2得证.所以由Ⅰ⇒Ⅱ得证.(二)证明Ⅱ⇒Ⅲ.在定义Ⅲ中,条件1,结合律显然成立.在定义Ⅱ中,对∀a∈G,设e1、e3∈G,均具有性质:ae1=e1a=a,e2a=ae2=a,⇒e1=e2e1=e1e2=e2,故左单位元、右单位元是唯一的,常记G的单位元为e.在定义Ⅱ中,∀a∈G,设b1、b2∈G,且均具有性质:ab1=b1a=e,b2a=ab2=e,⇒b1=eb1=(b2a)b1=b2(ab1)=b2e=b2.故在G中,对每一个元a的右逆元和左逆元是唯一的,常记a的逆元为a-1.∀а、b∈G,令x=a-1b,y=ba-1代入定义Ⅲ的条件2中去,得a(a-1b)=(aa-1)b=eb=b,(ba-1)a=b(a-1a)=be=b.故x=a1-b,y=ba1-分别为方程ax=b,ya=b的解.设a1、a2分别为ax=b、ya=b的解,⇒aa1=b,a2a=b,⇒a-1(aa1)=a-1b,(a2a)a-1=ba-1,⇒(a-1a)a1=a-1b,a2(aa-1)=ba-1⇒a1=a-1b,a2=ba-1,故x=a1=a-1b,y=a2=ba-1.因此,在定义Ⅲ中,两个方程不但有解,而且有唯一解.所以由Ⅱ⇒Ⅲ得证.(三)证明Ⅲ⇒Ⅳ.在定义Ⅵ中,条件1,结合律显然成立.在定义Ⅲ中,对∀a∈G,方程ax=a有唯一解e,使得ae=a,故在定义Ⅵ中,条件2成立.在定义Ⅲ中,对∀a∈G,方程ya=e,在G中有解a-1∈G,使得a-1a=e,故在定义Ⅵ中,条件3成立.所以由Ⅲ⇒Ⅵ得证.(四)证明Ⅳ⇒Ⅴ.在定义Ⅴ中条件1,结合律显然成立.在定义Ⅳ中,条件2是对∀a∈G,在G中存在着唯一的右单位元e,使得ae=a,⇒ea=a,即e为a的右单位元又是a的左单位元,且是唯一的,故在定义Ⅴ中,条件2成立.在定义Ⅳ中,条件3是对G中每一个元a,在G中存在着相应的一个左逆元a′,使得a′a=e,⇒aa′=e,故在定义Ⅴ中,条件3成立.所以由Ⅳ⇒Ⅴ得证.(五)证明Ⅴ⇒Ⅰ.在定义Ⅰ中,条件1,结合律显然成立.在定义Ⅴ中,条件2是对∀a∈G,存在唯一的左单位元e,使得ea=a,故在定义Ⅰ中,条件2成立.在定义Ⅴ中,条件3是对G中每一个元a,在G中存在关相应的一个右逆元a′,使得aa′=e,⇒a′a=e,故在定义Ⅰ中,条件3成立.所以由Ⅴ⇒Ⅰ得证.在上述群的五种等价定义中,要特别注意的是,在定义Ⅰ和定义Ⅱ中,条件不能交错来组合成群的定义.比如在代数系统〈G,·〉中,如果下列条件被满足:1、结合律成立:a(bc)=(ab)c,∀a、b、c∈G.2、在G中至少存在一个左单位元e,对∀a∈G,有ea=a.3、对G中,每一个元a,对应的有一个右逆元a′,使得aa′=e.则代数系统〈G,·〉不构成群.或者在代数系统中〈G,·〉中,如果下列条件被满足:1、结合成立:(ab)c=a(bc),∀a、b、c∈G.2、在G中至少存在一个右单位元e,使得对∀a∈G,有ae=a.3、对G中每一个元a,对应有一个左逆元a′,使得a′a=e.则代数系统〈G,·〉不构成群.例1设A={a,b,c,…,}≠ue07e,规定集合A中元素的乘法:∀x、y∈A,xy=y,显然〈A,·〉为代数系统.1、∀x、y、z∈A,有(xy)z=yz=z,x(yz)=xz=z,⇒(xy)z=x(yz),结合律成立.2、对∀x∈A,由乘法定义,有ax=x,故a为A的左单位元.3、对∀x∈G,xa=a,故a为x的右逆元.因此代数系统〈A·〉满足三个条件,但A不是群.因为在群中,当x≠y时,x-1≠y-1,但在A中,当x≠y时,有xa=a,ya=a⇒x、y有相同的逆元a.例2设A={a,b,c,…,}≠ue07e,规定集合A中元素的乘法:∀x,y∈A,xy=x,显然〈A·〉为代数系统.1、∀x,y,z∈G,有(xy)z=xz=x,x(yz)=xy=x,故(xy)z=x(yz),结合律成立.2、∀x∈A,由乘法定义得:xa=x,⇒a