关于正负群的一个新刻画

关于正负群的一个新刻画

半组s为雍正。当s为任何as时，存在一个as的s，使aaa=a，aaa=a；e（s）={xs=s}是s的等元集，v（a）={xs=x.x，axa=a}是反演集。当s的任何as，且为as，则v（a）==1时，s被称为s的反演集。正半组的研究是半群代代相传理论中最成熟的部分，尤其是反半组的研究成果丰富。设N为所有非负整数集合,S=N×N={(m,n)|m,n∈N},在S上定义乘法“。”如下:(m,n)。(p,q)=(m-n+max(n,p),q-p+max{n,p}).则S对如上定义的乘法“。”为一个双循环半群,记作S=(N×N,。).由文献可知,双循环半群作为一类特殊的逆半群,在逆半群的理论研究中起着非常重要的作用,本文对此类半群上的同余关系进行了探讨,从而得到一些重要的结论:定理1证明了双循环半群上的同余为群同余或幂等元分离同余;定理2～定理5对双循环半群同余格上的元进行刻划,并得到一些重要的结论.1同余格的基本理论设S为半群,ρ是S上的一个等价关系,对S上的任意元x,xρ表示为集合{y|(x,y)∈ρ,y∈S},则ρ为S上的一个同余关系当且仅当(x,y)∈ρ⇒∀a∈S,(ax,ay)∈ρ,(xa,ya)∈ρ.文献已对同余的基本理论作了介绍,特别地,若λ、ρ为S上的任意两个同余,则ρ∩λ、ρ∨λ都为S上的同余,所以以S上的全部同余为元的集合构成一个格,称为同余格,记作C(S).半群S上的同余ρ为群同余,如果S/ρ为一个群;半群S上的同余λ为幂等元分离同余,如果S的任意两个相异的幂等元不在同一个λ-类.从文献、可知,逆半群S上存在一个最小的群同余σ和一个最大的幂等元分离同余μ,且有以下两个重要的结论:逆半群S上的同余ρ为群同余当且仅当σ⊆ρ;逆半群S上的同余λ为幂等元分离同余当且仅当λ⊆μ.下面看看双循环半群上的同余关系.2所起作用型下面的引理先来刻划双循环半群的幂等元集,逆元.引理1S=(N×N,。)是一双循环半群,E(S)为S的幂等元集,(m,n)∈S,V((m,n))为元(m,n)的逆元集,则:(1)E(S)={(n,n)|n∈N)};(2)V((m,n))={(n,m)}.证明(1)设(m,n)∈S,若(m,n)为S的一个幂等元,则(m,n)。(m,n)=(m-n+max{n,m},n-m+max{n,m})=(m,n).若m≥n,则(m,n)。(m,n)=(m-n+max{n,m},n-m+max{n,m})=(m-n+m,n-m+m)=(m,n),故m=n.若m≤n,则类似可证m=n.所以S的幂等元集E(S)={(n,n)|n∈N)}.(2)设(m,n)∈S,则(n,m)∈N×N=S.由(m,n)。(n,m)。(m,n)=(m-n+max{n,n},m-n+max{n,n})。(m,n)=((m-n+max{n,n})-(m-n+max{n,n})+max{m-n+max{n,n},m},n-m+max{m-n+max{n,n},m})=(m,n);(n,m)。(m,n)。(n,m)=(n-m+max{n,n},n-m+max{m,m})。(n,m)=((n-m+max{m,m})-(n-m+max{m,m})+max{n-m+max{m,m},n},(m-n+max{n-m+max{m,m},n})=(n,m),则(n,m)为(m,n)的一个逆元;又由逆半群S中的任意元的逆元的唯一性,故V((m,n))={(n,m)}.下面的定理用来刻划双循环半群的同余.定理1S=(N×N,。)是一双循环半群,ρ为S上的同余,则ρ为群同余或幂等元分离同余.证明若ρ不是S上的幂等元分离同余,则∃(i,i),(i+k,i+k)∈E(S),其中k>0满足((i,i),(i+k,i+k))∈ρ.下面用数学归纳法证明S的任两个幂等元都满足关系ρ.(1)由(0,i)。(i,i)。(i,0)=(0-i+max(i,i),i-i+max(i,i))。(i,0)=(0,i)。(i,0)=(0-i+max(i,i),0-i+max(i,i))=(0,0),(0,i)。(i+k,i+k)。(i,0)=(0-i+max(i,i+k),(i+k)-(i+k)+max(i,i+k))。(i,0)=(k,i+k)。(i,0)=(k-(i+k)+max(i+k,i),0-i+max(i+k,i))=(k,k),由已知ρ为S上的同余,((i,i),(i+k,i+k))∈ρ,故(0,0)ρ(k,k).又由(0,0)。(1,1)=(0-0+max(0,1),(1-1+max(0,1))=(1,1),(k,k)。(1,1)=(k-k+max(k,1),1-1+max(k,1))=(k,k),故((1,1),(k,k))∈ρ,所以有((0,0),(1,1))∈ρ.(2)若对于n∈N,n≠0时有((0,0),(n,n))∈ρ,下证((0,0),(n+1,n+1))∈ρ.由(n,0)。(0,0)。(0,n)=(n-0+max(0,0),0-0+max(0,0))。(0,n)=(n,0)。(0,n)=(n-0+max(0,0),n-0+max(0,0))=(n,n),(n,0)。(1,1)。(0,n)=(n-0+max(0,1),1-1+max(0,1))。(0,n)=(n+1,1)。(0,n)=(n+1-1+max(1,0),n-0+max(1,0))=(n+1,n+1),则((n,n),(n+1,n+1))∈ρ.所以有((0,0),(n+1,n+1))∈ρ.由(1),(2)有:(0,0)ρ(1,1)ρ(2,2)ρ(3,3)ρ,……ρ(n-1,n-1)ρ(n,n)ρ(n+1,n+1)ρ……,所以S的全部幂等元都在同一个ρ-等价类中.又对于∀(m,n)∈S,(0,0)ρ·(m,n)ρ=(m,m)ρ·(m,n)ρ=((m,n)。(n,m))ρ·(m,n)ρ⊆(m,n)ρ,(n,m)ρ·(m,n)ρ⊆(0,0)ρ,故S/ρ是一个群.则ρ为S上的一个群同余.定理2S=(N×N,。)是一双循环半群,则S上的恒等关系ε为幂等元分离同余,且ε=μ.证明S=(N×N,。)是一双循环半群,ε为S上的恒等关系,则(m,n),(p,q)∈S,(m,n)ε(p,q)⇔m=p,n=q.显然,ε为S上的等价关系,且若(m,n)ε(p,q),则∀(m′,n′),(p′,q′)∈S,都有(m′,n′)(m,n)(p′,q′)ε(m′,n′)(p,q)(p′,q′),故ε为S上的同余关系.又∀(m,m),(n,n)∈E(S),若(m,m)ε(n,n),则(m,m)=(n,n).故ε为S上的幂等元分离同余.由文献、可知,在双循环半群S上,(m,n),(p,q)∈S,(m,n)μ(p,q)⇔m=p,n=q.故ε=μ.定理3S=(N×N,。)是一双循环半群,σ为S上的最小的群同余,λ为S的幂等元分离同余,则λ⊆σ.证明由文献可知,在双循环半群S上,σ=σ∨μ,故μ⊆σ,而λ⊆μ,故λ⊆σ.定理4S=(N×N,。)是一双循环半群,ρ为S上的群同余,λ为S的幂等元分离同余,则以下结论成立.(1)ρ∩λ=λ=ε=μ.(2)ρ∨λ=ρ.证明(1)λ为S的幂等元分离同余,故不难证明ε⊆λ⊆μ;又ρ为S上的群同余,则σ⊆ρ;而由定理2可知ε=μ,而μ⊆σ,故有ρ∩λ=λ=ε=μ.(2)由(1)可得.定理5S=(N×N,。)是一双循环半群,σ为S上的最小的群同余,μ为S上的最大幂等元分离同余,ω为S上的全关系,C(S)