复f代数的一些性质

复f代数的一些性质

0复f-代数和实的ringz空间f-代际理论是risz空间理论和正算子理论的重要分支。f-代数的概念最早提出是在上个世纪50年代,它是以格序代数为基础的一类特殊的代数结构。f-代数理论的研究在最近二、三十年里取得了较大的突破,但已有的结果大多集中在实的格序代数和实的Riesz空间中进行,而对复空间的情况考虑较少。到目前为止,除C.B.Huijsmans,B.de.Pagter和F.Beukers讨论过复f-代数在半素情况下绝对值的表达式以及复Riesz空间中的控制分解定理以外,关于这方面的系统研究工作还不是很多。本文正是在实f-代数的研究方法和手段的基础上,围绕复f-代数的性质,尤其是有单位元和半素的复f-代数来展开讨论。未经解释的术语符号和基本理论可参见文献和。1f-木定义的复f-代词Riesz空间(向量格)是一个序向量空间,并且还是一个格,但是通常在它上面并没有乘法的定义。如果在Riesz空间上定义一种乘法,并使这种乘法和原来的序结构相容和,那么这个Riesz空间就做成了一个Riesz代数。进一步的有f-代数的定义:定义1Riesz代数E是f-代数,是指对E中的任意元素x,y,若x∧y=0,则对任意z∈E+都有(xz)∧y=(zx)∧y=0成立。这是实f-代数的定义,为了讨论复f-代数,首先以一个引理的形式给出复的Riesz空间的定义:引理1如果E是Archimedean和一致完备的实Riesz空间,则对任意h∈E+iE,且h=f+ig都有:|h|=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}存在。把满足上述定理条件的复向量空间E+iE称为(实)Riesz空间E的Riesz(向量格)复化形式,简称为复Riesz空间E+iE。在本文的讨论中,若未加说明,复Riesz空间的实部均要求满足Archimedean和一致完备的条件。定义2E+iE是复Riesz空间,如果E还是Riesz代数,则E+iE按照类似于通常复数域中的乘法运算,即若φ=f1+ig1,Ψ=f2+ig2∈E+iE,则φΨ=f1f2-g1g2+i(f1g2+g1f2)做成复的格序(Riesz)代数。在上面定义的基础上,自然有复f-代数的定义:定义3如果E是实f-代数,则E+iE就称为复f-代数。下面给出半素和有单位元的实f-代数的定义,它们是特殊而重要的两类f-代数。定义4E是实的f-代数,若E的幂零元只有零元,则E被称为是半素的。E是一个有单位元的实f-代数,是指在E中存在某个元素e,使得对E中任意元x有xe=ex=x成立。容易证明有单位元的实f-代数一定也是半素的实f-代数,并且半素和有单位元的复f-代数也可以类似定义。2e是半素的f-代数且表面活性剂f2本节主要讨论有单位元的和半素的复f-代数,为此先给出复f-代数的一些重要性质:引理2E+iE是复的Riesz代数,则任意φ,Ψ∈E+iE,|φΨ|≤|φ||Ψ|成立。定理1E是实f-代数,若φ,Ψ∈E+iE,并且φ⊥Ψ,则对任意σ∈E+iE都有σφ⊥Ψ和φσ⊥Ψ成立。证明:因为φ⊥Ψ所以|φ|∧|Ψ|=0.由于E是实f-代数,所以对任意σ∈E+iE,都有|σ||φ|∧|Ψ|=|φ||σ|∧|Ψ|=0。从引理2易知|φσ|≤|φ||σ|,|σφ|≤|σ||φ|,因此=|φσ|∧|Ψ|=|σφ|∧|Ψ|=0,所以根据不交的定义有σφ⊥Ψ,φσ⊥Ψ成立。由Archimedean的实f-代数满足(乘法)交换性及复Riesz代数的乘法定义,显然可得:定理2复f-代数也满足(乘法)交换性。下面引理是F.Beukers证明的复f-代数在半素情况下绝对值的表达式定理:引理3当E是半素的实f-代数时,对任意f,g∈E下面等式成立:f2+g2−−−−−−√=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}f2+g2=sup{fcosθ+gsinθ∶0≤θ≤2π}其中f2+g2−−−−−−√f2+g2表示E中平方等于f2+g2的正元素,即f2+g2−−−−−−√≥0f2+g2≥0且(f2+g2−−−−−−√)2=f2+g2(f2+g2)2=f2+g2。根据这个引理,容易得到下面的定理和推论:定理3如果E是半素的实f-代数,那么对任意φ,Ψ∈E+iE都有|φΨ|=|φ||Ψ|;特别地|φk|=|φ|k,k=1,2,3,…证明:令φ=f1+ig1,Ψ=f2+ig2,则|φ|=f12+g12−−−−−−−√‚|Ψ|=f22+g22−−−−−−−√|φ|=f12+g12‚|Ψ|=f22+g22,所以|φΨ|=|f1f2−g1g2+i(f1g2+f2g1)|=(f12+g12)(f22+g22)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=|φ||Ψ||φΨ|=|f1f2-g1g2+i(f1g2+f2g1)|=(f12+g12)(f22+g22)=|φ||Ψ|。证毕。推论1E是实的f-代数,则E是半素的当且仅当E+iE也是半素的,即幂零元只有零元。证明:必要性:由定理3可得,|φk|=|φ|k,对任意自然数k都成立。因此若φ∈E+iE存在某个自然数n,使得φn=0,则|φ|n=0;又因为E是半素的,所以|φ|=0,即φ=0.充分性显然。证毕。从这个推论可以看出,实f-代数的半素性和它相对应的复f-代数的半素性是等价的。因此,在后文中说E+iE是半素的实际上也暗含了E的半素性。定理4如果E+iE是半素的复f-代数,则任意φ,Ψ∈E+iE,φ⊥Ψ当且仅当φΨ=0证明:若φ⊥Ψ,则|φ|∧|Ψ|=0,所以由E是实f-代数和定理3可知|φΨ|=|φ||Ψ|=0,从而φΨ=0。另一方面,如果φΨ=0,则|φΨ|=|φ||Ψ|=0。E+iE是半素的复f-代数,因而E也是半素的,所以|φ|∧|Ψ|=0,即φ⊥Ψ。证毕。“单位元”性质是实-代数中的一类重要性质,在复f-代数中也不例外。下面定理讨论了在复f-代数中单位元和序单位的关系。定理5(1)若E是有单位元e的实f-代数,则e也是E+iE的单位元,且e还是E+iE的弱序单位元。如果e是E的强序单位元,那么它也是E+iE的强序单位元。(2)若e是复f-代数E+iE的单位元,则e也是E的单位元,并且e∈E。证明:(1)如果e是E的单位元,很显然e也是E+iE的单位元,即任意φ∈E+iE,eφ=φe=φ。注意E=Be(由e在E中产生的带),所以E+iE=Be+iBe,e是E+iE的弱序单位元。同理可证,若e还是E的强序单位元,则e也是E+iE的强序单位元。(2)只需说明e是E中的元素即可。令e=f+ig∈E+iE,对任意的h∈E,h=eh=fh+igh,所以gh=0。由h的任意性可知,E中的每个元素和g的乘积都是0,于是g=eg=fg+ig2=0,故e∈E。证毕。3ue,ue逆元的存在性是有单位元的f-代数的一个重要代数性质,文献首先给出实f-代数中逆元存在的一个充分条件。引理4如果E是有单位元e的实f-代数,并且E还是一致完备的,那么若u∈E,且u≥e,则u在E中的逆元存在。定理6若E+iE是有单位元e的复f-代数,则任意元φ∈E+iE,如果|φ|≥e,则φ在E+iE中的逆元存在。证明:令φ=f+ig,由|φ|≥e可推|φ|2≥e,由引理4可知f2+g2≥e。根据引理4,f2+g2在E中有逆元,不妨设为(f2+g2)-1。再令Ψ=(f2+g2)-1f-i(f2+g2)-1g,容易验证Ψ就是φ在E+iE中的逆元。证毕。实际上,实Riesz空间E是复Riesz空间E+iE的实向量子空间,因此定理6中的充分条件也适用于实f-代数的情况,这显然比引理4中的充分条件要更好一些。4复f-代差原理及其性质f-代数中的乘法分解定理有很多种类型,考察了以下2种比较常规的情况:定义5实f-代数E具有乘法分解(M.D)性质是指如果0≤u≤vw,其中w,v∈E+,则存在p,q∈E,使得u=pq,且0≤p≤v,0≤q≤w。称E具有(*)性质是指对所有的0≤u,v∈E,若0≤u≤v2,则存在w∈E使得u=vw。在实f-代数中乘法分解(M.D)性质和(*)性质一般不等价,以下引理E是具有这2种性质的一个充分条件:引理5若E是一致完备并且有单位元的f-代数,则E具有乘法分解(M.D)性质和(*)性质。类似于实f-代数中的乘法分解(M.D)性质和(*)性质,给出复f-代数中的相应定义,并讨论满足这些性质的一些充分条件。定义6复f-代数E+iE具有乘法分解(M.D)性质是指任意u,v,w∈E+iE,如果|u|≤|wv|,则存在p,q∈E+iE,使得u=pq,且|p|≤|v|,|q|≤|w|。复f-代数E+iE具有(*)性质是指任意u,v∈E+iE,如果|u|≤|v|2,则存在w∈E+iE,使得u=wv。引理6若实Riesz空间E是正规的f-代数,则任意φ∈E+iE,都存在σ∈E+iE,使得φ=σ|φ|,并且|φ|=σφ。定理7E+iE是有单位元的复f-代数,并且E是正规的,则E+iE具有(*)性质。证明:由引理5知有单位元的实f-代数E具有(*)性质,所以从|u|≤|v|2可推,存在w1∈E,使得|u|=w1|v|。又由于E是正规的,利用上面引理可得:存在σ1,σ2∈E+iE,使得u=σ1|u|,|v|=σ2v。因此,u=σ1|u|=σ1w1σ2v;再令w=σ1w1σ2∈E+iE,则u=wv。试图按照上面的方法去证明有单位元的复f-代数具有乘法分解(M.D)性质,但遗憾的是不能保证分解后因子的绝对值受控制(|p|≤|v|,|q|≤|w|)的条件。为此,把命题的条件加强,得到以下结果。定理8E+iE是有单位元e的复f-代数,E是正规的,u,v,w∈E+iE,如果e≤|u|≤|wv|,则存在p,q∈E+iE,使得u=pq,且|p|≤|v|,|q|≤|w|。证明:因为有单位元的实f-代数E有乘法分解(M.D)性质,则由|u|≤|wv|=|w||v|可知,存在p,q∈E,使得|u|=pq,且0≤p≤|v|,0≤q≤|w|。又因为E是正规的,所以存在σ∈E+iE,使得u=σ|u|。从e≤|u|可知|u|存在逆元|u|-1,因此,σ=u|u|−1‚|σ|=∣∣∣∣u|u|−1∣∣∣∣∣∣∣∣=|u||u|−1=eσ=u|u|-1‚|σ|=|u|u|-1||=|u||u|-1=e。所以|σp|=|σ||p|≤|v|,u=σ|u|=(σp)q满足条件。5复f-代差与序理想f-代数首先是一个Riesz空间,因此在它上面有序理想的概念(复Riesz空间中的序理想是指:线性子空间A是E+iE的序理想当且仅当A的实部Ar是E的序理想且A=Ar+iAr)。同时它也是一个代数结构,在它上面就有环理想(即:实Riesz代数E的线性子空间A是环理想,是指任意f∈A,g∈E都有fg∈A,gf∈A;复Riesz空间中的环理想也类似定义),也就是代数理想的概念。在同一个结构中讨论这两种理想的关系是有意义的。下面类比实f-代数的结果,刻画复f-代数中代数理想与序理想的关系。引理7E是实f-代数,则任意一致闭的序理想是代数理想。定理9若A是复f-代数E+iE的序理想,且A的实部Ar在E中是一致闭的,则A是E+iE的代数理想。证明:若A是E+iE的序理想,则A=Ar+iAr,并且Ar还是E的序理想。根据引理7,Ar是E的代数理想。很显然,A=Ar+iAr也是E+iE的代数理想。引理8E+iE是有单位元e的复f-代数,A是E+iE的代数理想,则A的实部Ar是E的代数理想,且A=Ar+iAr。证明:容易验证Ar是E的实线性子空间,且Ar是E的代数理想。令A的虚部为Ai,即A=Ar+iAi,下证Ar=Ai。任意f∈Ai⊂A,因为A是E+iE的代数理想,故f(ie)=if∈A,因此f∈Ai,这说明Ar⊂Ai。同理可证A