初三升高一数学直播腾飞班（课改）讲义第2讲 集合的关系与运算

第2讲集合的关系与运算 知识引航第2讲集合的关系与运算 知识引航“白马非马”的故事战国末年的公孙龙，是我国古代的著名逻辑学家和哲学家．《白马论》是他的一篇著名的哲学论文，这篇论文要证明的一个论题是：“白马非马”，他提出的理由之一是“求‘马’．‘黄’‘黑’马皆可致．求‘白马’．‘黄’‘黑’马不可致……是白马之非马，审矣！”意思是：若说要马，黄马黑马都行，若说要白马，黄马黑马就不行了，……可见白马非马是无疑的了．想一想，公孙龙话里的奥妙在哪里？集合的关系与运算学习目标学习目标第第2讲集合的关系与运算 学习目标理解集合之间包含与相等的含义．能使用图表达集合之间的关系．理解集合的交集、并集和补集的含义，并会求两个简单集合的交集、并集和补集．直击课堂直击课堂集合的关系与运算集合的关系与运算-课堂总结知识引航知识引航我们日常说话，用的是自然语言，自然语言虽然生动通俗，但很难做到严谨．因为常有一字多义的情形．“白马非马”的“我们日常说话，用的是自然语言，自然语言虽然生动通俗，但很难做到严谨．因为常有一字多义的情形．“白马非马”的“非”字乃“是”字的反义词，“是”字的用法有多种，例如：“关云长的坐骑是赤兔马，这里“是”字相当于数学中的等号，表示“关云长的坐骑”和“赤兔马”是同一个事物．“赤兔马是红马”，这里“是”字相当于我们上一节学的符号∈，表示“赤兔马”是“红马”集合的一个元素．“红马”是马，这里“马”是个大集合，“红马”是个小集合，“是”字表示的是两个集合之间的包含关系：红马集合包含于马集合．“是”字既然身兼多职，可以表示“等于”、“属于”或“包含于”“非”字也就可以表示“不等于”、“不属于”或“不包含于”了．公孙龙所论证的，实际上是“白马集合不等于马集合”．如果说“白马集合不等于马集合”，这大家都知道，并无新意，含糊地说“白马非马”，通常会被理解成“白马集合不包含于马集合”，就引起讨论的兴趣了，这个例子说明，使用集合的思想和一词一义的数学概念．有助于把事情弄清楚．素材 knowledgecombing第第2讲集合的关系与运算 模块一 集合的关系【知识点睛】1．子集如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集．记作A⊆B或B⊇A读作：“A包含于B”或“B包含A”．我们规定空集是任何一个集合的子集，即对任意集合A，有∅⊆A．1例题111集合M={0,1,2,4}，则集合M的非空子集的个数是 ．2已知集合A={−1,2,2m−1},B={2,m2}．若B⊆A，则实数m=

．83%∣∣∣3若集合A{xx2x60}，B{xx2xa0}，且BA，求实数的取值范围．考法：[达标检测]式变式))1已知集合A={x2⩽x⩽7}，B={x∣m1<x<2m1}，且B，若B⊆AA.−3⩽m⩽4B.−3<m<4C.2<m<4D.2<m⩽4第2讲集合的关系与运算 模块一 集合的关系【知识点睛】第2讲集合的关系与运算 模块一 集合的关系【知识点睛】2．集合相等如果集合A是集合B如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B 相等，记为A=B．2A.MA.M={(2,3)},N={(3,2)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)∣x+y=1},N={y∣x+y=1}D.M={1,2},N={(1,2)})1下列各组集合中，表示同一集合的是(1300或1)2已知集合M23N32a2}．若集合MN，则a=(式变式21集合A={1,,y}，B=1,2,2y，若A=B，则实数的取值集合为( A.{1}2B.

11}−2,}2C.{0,1}2D.{ 1 1}0,2,−222已知集合A=x∣x=1+2,a∈R，B=y∣y=2−4a+5,a∈R，判断这两个集合之间的关系．素材 knowledgecombing第第2讲集合的关系与运算 模块一 集合的关系【知识点睛】3．真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B或B⫌A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．我们规定空集是任何非空集合的真子集，即对任意集合A，若A ，则∅⫋A．3例题3若集合A={x∣x>3}，则下列表示中正确的是( )π⫋A{π}⫋A{π}∈A{π}⊈A1313141516)2集合A2}的真子集的个数为(））3若{12A12345}，则满足条件的集合A的个数是（6789考法：【达标检测1】式变式)1)1已知集合Mx∣x2xxR}，集合N1]，则集合MN的关系是(M⫋NN⫋MM=NM⊈N且NM22设集合A={1,2}，B={1,2,3,4,5}，若A⊆S⫋B，则满足条件的集合S的个数为 ．模块2：集合的运算第2讲集合的关系与运算 模块二 集合的运算【知识点睛】第2讲集合的关系与运算 模块二 集合的运算【知识点睛】1．交集【思考探究】A={x∣x是我们班级的女同学}，B={x∣x是我们班级戴眼镜的同学}，C={x∣x是我们班级戴眼镜的女同学}，集合C与集合A,B是什么关系呢？对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集，记作“A∩B”，读作A交B．用符号语言表示为：A∩B={x∣x∈A且x∈B}．图形语言表示为：4例题图形语言表示为：4A.A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4})1已知集合A={1,2,3,4},B={y∣y=3x−2,x∈A}，则A∩B=()2已知集合Px∣x10Mx∣x20}，则PM(A.(−∞,1]B.[−2,+∞)C.[1,2)D.(−2,1]考法：【达标检测1】式变式1若集合A={x∣−2<x<1}，B={x∣x<−1或x>3}，则A∩B=( )66%A.{x∣−2<x<−1}B.{x∣−2<x<3}C.{x∣−1<x<1}D.{x∣1<x<3}A.A.1)B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1])2x−x 0}，则AB=(∣∣x2B={}，<3∣x+1+15x∣A={x2已知集合素材 knowledgecombing第第2讲集合的关系与运算 模块二 集合的运算【知识点睛】2．并集对于两个给定的集合A、B，由两个集合所有元素构成的集合叫做A与B的并集，记作“A∪B”，读作“A并B”．用符号语言表示为A∪B={x∣x∈A或x∈B}．用维恩图表示如下：阴影部分表示：A∪B．5例题51设集合A={x∈N∣0⩽x⩽2},B={x∈N∣1⩽x⩽3}，则A∪B=( )51%A.{1,2}B.{0,1,2,3}C.{x∣1⩽x⩽2}D.{x∣0⩽x⩽3}22若集合A={1,x2},集合B={1,3,x}，且A∪B={1,3,x}，则x= ．式变式已知集合A已知集合A={1,3,x2},B={1,2−x}，且B⊆A．1求实数x的值．若BC=A，求集合C．素材 knowledgecombing第第2讲集合的关系与运算 模块二 集合的运算【知识点睛】3．补集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U合A的补集，记作∁UA，读作：A在U中的补集．用符号语言表示为：∁UA{x∣x∈U且x/A}．用维恩图表示如下，阴影部分表示集合A的补集∁UA．6例题611设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁AB= .2已知全集U={x∈N∣x⩽5}，若A={x∈N∣2x−5<0}，则∁UA=( )77%A.{3,4}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{4,5}考法：【达标检测1】式变式))1已知全集U=R，集合A={x∣x<−2或x>2}，则∁UA=(A.(−2,2)B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.[−2,2]D.(−∞,−2]∪[2,+∞)2设集合A={4,+中实数的取值集合为M，则∁RM= ．7例题71已知全集U=R，集合A={x∣−2⩽x⩽3},B={x∣x<−1或x>4}，则A∩∁UB=( )66%A.{x∣−2⩽x<4}B.{x∣x⩽3或x⩾4}C.{x∣−2⩽x⩽−1}D.{x∣−1⩽x⩽3}式变式))1已知集合Ax∣3x7}Bx∣2x10，则∁RB(A.{x∣3⩽x<7}B.{x∣2<x<10}C.{x∣x⩽2或x⩾10}D.{x∣x<3或x⩾7}2已知全集U12345678910}，集合A2359}，集合B45679}，则AB=()A.{5,9}B.{2,3}C.{1,8,10}D.{4,6,7}模块3：课堂总结素材 knowledgecombing集合的关系与运算课堂总结集合的关系与运算课堂总结模块4：秋季你会遇见考法：变式2（1）例题8 MM=N⊆PM⊇N=PM⊆N=PM=N=P)，P的关系为(M，N2 6p 1∣x= + pZ}，则2 3n 1∣x= − ,n∈Z}，P={x61∣x=m+ ,m∈Z}，N={x1已知集合M={x素材 knowledgecombing集合的概念与表示集合的概念与表示-春季你会遇见【点石成金】暑秋两题都考察了集合间的关系题.对比发现，暑期题目比较简单，可以计算出各个集合中元素，从而判断它们的关系而秋季题目则比较复杂，每个集合都是无限集，并不容易一一列举出集合中的元素．需要我们分析集合所表示的内容.这类型题目暑期并没有见过，是我们秋季解决的重难点，期待我们秋季的学习吧！模块5：理科大视野素材 knowledgecombing理科大视野

罗素悖论20世纪之初,数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中,科学家们普遍认为,数学的系统性和严密性已经达到,科学大厦已经基本建成．例如,德国物理学家基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)就曾经说过:“物理学将无所作为了,至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个数字罢了．”英国物理学家开尔文(L.Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说:“在已经基本建成的科学大厦中,后辈物理学家只能做一些零碎的修补工作了．”彭迦莱(Poincar6)在1900年的国际数学家大会上也公开宣称,数学的严格性,现在看来可以说是实现了．然而好景不长,时隔不到两年,科学界就发生了一件大事,这件大事就是罗素(Russell)所谓罗素悖论指的是由罗素发现的一个集合论悖论．设集合S是由一切不属于自身的集合所组成,即“S={x∣x/S}”．那么问题是S包含于S是否成立？首先,S包含于S,则不符合x/S,S不包含于S；其次,若S不包含于S,则符合x/SS包含于S．在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人．可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸．理发师悖论与罗素悖论是等价的:如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象．那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他．那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论．反过来的变换也是成立的．“理发师悖论”是很容易解决的,解决的办法之一就是修正理发师的规矩,将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了．罗素悖论提出后,数学家们纷纷提出自己的解决方案．人们希望能够通过对康托尔的集合