高中数学 高一数学

基本初等函数（一）2.3幂函数一、幂函数1．幂函数的概念一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数解析式相同点不同点指数函数右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数底数是_______，指数是_______二、幂函数的图象与性质1．几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；（3）当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过（0，0），（1，1）过（0，0），（1，1）过（1，1）凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、3．常用结论（1）幂函数在_______上都有定义．（2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．（5）幂函数在第四象限无图象．K知识参考答案：一、3．自变量 常数二、2．（1） （2） （3）3．（1） （2） （3）递增 （4）递减K—重点1．幂函数的定义、图象与性质；K—难点1．幂函数的性质；K—易错1．要正确区分幂函数和指数函数；2．根据幂函数的定义求参数的值时，一定要把求出的参数的值代入题目中进行取舍．1．K重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．【例1】已知幂函数的图象过点（2，），试求该函数的解析式．2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．【例2】已知函数，，的图象如图所示，则实数的大小关系为A． B．C． D．3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．【例3】如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a>1，α>0时，aα>1；0<a<1，α>0时，0<aα<1；a>1，α<0时，0<aα<1；0<a<1，α<0时，aα>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．（2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设，则的大小关系是A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数的定义域为，且单调递减，则_______．1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点，则α=A．–2 B．2 C． D．2．若幂函数f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值是A．4 B．3 C．2 D．13．幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于A．4 B． C． D．4．函数的单调递增区间为A．（–∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（–∞，0）5．若幂函数y=f（x）经过点，则此函数在定义域上是A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数6．若函数f（x）=（m2–m–1）xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f（x）A．是偶函数 B．是奇函数C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值7．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则实数α=___________．8．幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为___________．9．已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=___________．10．函数的单调递减区间为A． B． C． D．11．已知点在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数 B．奇函数C．偶函数 D．定义域内的增函数12．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，则函数f（x）是A．奇函数 B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数13．已知幂函数f（x）=xa的图象经过函数g（x）=ax–2–（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间 B．图象过定点（1，1）C．是奇函数 D．其定义域是R14．若函数f（x）=（m+2）xa是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=loga（x+m）的单调增区间为A．（–2，+∞） B．（1，+∞） C．（–1，+∞） D．（2，+∞）15．已知函数，则A．存在x0∈R，使得f（x）<0B．对于任意x∈[0，+∞），f（x）≥0C．存在x1，x2∈[0，+∞），使得D．对于任意x1∈[0，+∞），∃x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）16．已知幂函数的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为___________．17．幂函数f（x）=（t3–t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=___________．18．已知，求实数m的取值范围．19．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象经过点．（1）试求m的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）>f（3–）的实数a的取值范围．20．已知幂函数f（x）=（m3–m+1）x的图象与x轴和y轴都无交点．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞