武汉宏图艺考 函数的单调性、最值、函数的奇偶、周期性(一)

武汉宏图艺考武昌徐东大街岳家嘴东湖春树里小区4栋1单元2004室函数的单调性、最值、函数的奇偶、周期性（一）函数的单调性（一）●知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.●点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y=－x+1 B.y=C.y=x2－4x+5 D.y=答案：B2.函数y=loga（x2＋2x－3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）解析：当x=2时，y=loga5＞0，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0x＜－3或x＞1，易见函数t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上递减，故函数y=loga（x2＋2x－3）（其中a＞1）也在（－∞，－3）上递减.答案：A3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y=log|x－3|的单调递减区间是__________________.解析：令u=|x－3|，则在（－∞，3）上u为x的减函数，在（3，+∞）上u为x的增函数.又∵0＜＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y为x的减函数.答案：（3，+∞）4.有下列几个命题：①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________________.解析：①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的.答案：④●典例剖析【例1】如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.剖析：由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－2解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.【例2】讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.解：设－1＜x1＜x2＜1，则f（x1）－f（x2）=－==.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.【例3】求函数y=x+的单调区间.剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）－f（x1）的正负.解：首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.（1）当x1、x2∈（0，1）时，1－＜0，∴f（x2）－f（x1）＜0，为减函数.（2）当x1、x2∈（1，+∞）时，1－＞0，∴f（x2）－f（x1）＞0，为增函数.同理可求（3）当x1、x2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2∈（－∞，－1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y=x+（a＞0）的单调区间.提示：函数定义域x≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.答案：在（－∞，－］，（，+∞）上是增函数，在（0，］，（－，0）上是减函数.【例4】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的