函数的连续性

第四章函数的持续性一、单选题（每小题2分）1、设则（）A、在处极限存在且持续B、在处极限存在但不持续C、在处左、右极限存在但不相等D、在处左、右极限不存在2、设要使在处持续，则=（）A、2B、1C、0D、-13、是函数的（）A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点（第二类）D、持续点4、设在内持续，则在内必有（）A、最小值B、零点C、最大值D、极值5、存在是在持续的（）A、必要而非充足条件B、充足而非必要条件C、充要条件D、既非充足又非必要条件6、在持续的充要条件是时（）A、是无穷小B、C、与存在D、存在7、设在处间断，则（）A、在处无一定无定义B、当与存在时，必有≠C、当与均存在时，必有≠D、必有8、设点是地持续点，是的第一类间断点，则点是的（）A、持续点B、可能是持续点，也可能是间断点C、第一类间断点D、可能是第一类间断点，也可能是第二类间断点9、函数的持续范畴是（）A、B、C、D、10、是的（）A、持续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点答案：C2、B3、B4、B5、A6、B7、C8、B9、D10、C二、判断题（每小题2分）1、设定义于，在任意有限开区间（A，B）内持续，则在持续。（）2、设定义于，若，在和分别持续，则在持续。（）3、设在有定义，在内持续，且和均存在（为有限数），则在上必有最大值。（）4、单调函数的间断点必是第一类的间断点。（）5、一种持续的函数与一种不持续的函数复合后所得的函数必不持续。（）6、两个不持续函数的复合函数必不持续。（）7、若对，在上持续，则在内一定持续。（）8、在持续，（或）在持续。（）9、设在不持续，在也不持续，则在必不持续。（）10、在局部无界的充要条件是在不持续。（）11、在邻域有定义，但不持续在使得（）12、在内持续，在任意上一致持续，则在一致持续。（）13、若在内持续，则在内能获得最大值和最小值。（）14、设定义在上的函数存在单值及函数，若在上一对一的且持续，则在其定义域内必持续。（）15、若在上有定义，在内持续，和存在，则在内一致持续。（）答案：1、√2、√3、×4、√5、×6、×7、√8、×9、×10、×11、√12、×13、×14、√15、√三、填空题（每小题2分）1、2、的定义是：对，当时，有3、是的间断点4、若在点持续，则a=5、设在持续，则a=；6、函数在持续，则在处必须满足下述三个第件：①②③；7、函数的持续区间是；8、的持续点是；9、则为的间断点10、的不持续点及类型答案：1、无理点，有理点2、3、第二类4、15、k=0，1，2，……6、①在有定义无②③7、和8、9、可去10、为可去的，为第二类的,四、计算与应用题（每小题5分）1、讨论函数的持续性解：时，持续时，在处间断当时，而因此在持续故除外到处持续延拓函数，使其在上持续解：∵∴延拓到上的函数为设，研究复合函数与的持续性解：∵∴∴在上持续又∴除了为可去间断点外，在和内到处持续4、讨论的持续性解：的定义域为，由于与为的定义区间，故均持续只在点和有可能间断由于∴为持续点又由于∴为第二类间断点故在与上均持续，为第二类间断点5、研究的持续性解：∵∴显然及故有间断点，除此之外均持续6、讨论复合函数的持续性解：由得即当时由得即当时于是当时，故为的间断点，其它点均为持续点。7、研究函数的间断点，并作出草图解：∴为的第一类间断点·8、研究函数的间断点及类型，并作出草图解：故间断点为，且为第一类的9、根据初等函数的持续性求极限解：====10、根据初等函数的持续性求极限解：令则∴（∵）五、证明题（每小题5分）1、证明：若在持续，且，则有证明：∵在持续∴即对取有∴于是时，2、证明：若在持续，且，而在处持续，则复合函数在持续证明：已知在处持续即有又在持续，且∴对上述的于是（，从而）时有（，从而）∴持续3、证明：若是觉得周期的持续函数，则存在，使得证明：令，则也持续∵∴当时，只须取即可当时，与异号由零点Th，使得即4、证明：若在上持续，且的值域也是，则最少存在一点使得证明：令则1）若或则取或2）若且则有于是由零点Th，最少存在一点使即5、设与在持续，且证明最少存在一点使得证明：令则在上持续且由零点Th，最少使即6、设在上持续，对任何有理数，有，则在上证明：（反证）若存在无理数，使由持续函数的保号性，的某使但由有理数的稠密性知，在它邻域内必有有理数（无穷多个）在这些点时与矛盾故7、设在上持续，，证明方程在内最少有一种实根证明：∴即若则由零点Th，最少使即即为的实根若则此时此时为在上的根8、如果在持续，且与为有限值，则在内有界证法一：∵与存在∴则在上持续，从而有界∴在内有界证法二：∵与存在由极限局部有界性，， 当而在上持续，从而