三角形的三边关系

一、三角形的有关概念1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。abcabc如图所示线段AB，BC，CA是三角形的边。点A,B,C是三角形的顶点。是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC。读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用a,b,c来表示。如图所示。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.。三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。直角三角形两个锐角互余。斜三角形2、按边分类。三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。即底边和腰相等的等腰三角形。按边分类:不等边三角形等腰三角形三、三角形的三边关系对任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点的所有连线中，线段最短“可得AB+AC＞BC①同理有AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③由式子①②③我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边.注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。（3）这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数也可能是负数，一般取“差”的绝对值。（4）三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。已知两边求第三边的取值范围，根据三角形的三边关系定理可知：四、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。2判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。3、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。3、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。4、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。例1.一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）

（1）图2有_____个三角形；图3中有_____个三角形（2）按上面方法继续下去，第20个图有____个三角形；第n个图中有_____个三角形．（用n的代数式表示结论）1．如图，老师让同学们数一数图中所标字母构成的三角形个数时下面4个学生回答正确的是A4个B6个C8个D10个2、如图点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形?说明理由．3、在直角△ABC中，∠BAC＝90°，如下图所示．作BC边上的高，图中出现三个直角三角形（3＝2×1＋1）；又作△ABD中AB边上的高，这时图中便出现五个不同的直角三角形（5＝2×2＋1）；按照同样的方法作、、……、．当作出时，图中共有多少个不同的直角三角形?例21△ABC的三边a、b、c都是正整数且满足a≤b≤c若b＝4，则这样的三角形共（）个。A．4B．6C．8D．102.各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，求最短边的长。已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是若x是奇数，则x的值是。这样的三角形有个，若x是偶数，则x的值是。这样的三角形又有个。周长的取值范围是2．已知三角形三边的长分别为：5、9、a－2，则a的取值范围3．五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以___个三角形．4．在△ABC中，AB＝4a，BC＝14，AC＝3a．则a的取值范围是()A．a＞2B．2＜a＜14C．7＜a＜14D．a＜145．已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－c)，那么()A．M＞0 B．M＝0C．M＜0 D．不能确定6．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）B．三线段比为4∶6∶10C．3cm，8cm，10cmD．3a，5a，2a＋1（a＞0）7、ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长？8、有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米（即两脚着地时的间距有三米”。有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”。你觉得小颖的话有道理吗？例3，已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.1.a、b、c是三角形的三边长,试判断代数式(a-b-c)(a-b+c)的值与0的大小关系,并说明理由.三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。例7．AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大5，求AB与AC的差.AC=3cm,BA=4cm,则△ACD与△BAD的周长相差多少？请说明理由1、在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长、DCAB2、在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15DCAB3、如图1，在△ABC中，点D、E、F、分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝.4．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是.5、探索：如图，(1)---(3)中△ABC的面积为a,(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA。若△ACD的面积为,则（2）如图（2）延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC,AE=CA,连结DE，若的面积为，则=___.(3)在图（2）的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD、FE得到△DEF（如图3），若阴影部分面积为,则=_________.（用含a的代数式表示）应用：去年在面积为10㎡的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次有△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH（图4），求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？6、如下图．过点D作直线平分三角形面积7．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．例8（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC＝90°＋∠A。（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D＝90°－∠A。（3）如图3.BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D试说明∠A＝2∠D。(4)：在问题（3）的条件下，当∠等于多少度时，CD∥．1、如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O。(1)若∠ABC=40，∠ACB=50°，则∠BOC=_______(2)若∠ABC+∠ACB=lO0°，则∠BOC=________。(3)若∠A=70°，则∠BOC=_________。(4)若∠BOC=140°，则∠A=________。(5)你能发现∠BOC与∠A之间有什么数量关系吗?请说明理由。2．如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是的平分线，CE的反向延长线与的平分线交于点F．（1）当（图6），试求．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图7），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出．3.AD是△ABC中∠BAC的角平分线，MN垂直于AD分别交AB、AC于M、N两点，MN交BC的延长线于P，求证：∠AMN＝（∠ACB＋∠B）4、如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）在图2中，若∠D=400,∠B=360，试求∠P的度数；5、（1）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=38°，∠C=72°,则∠ADB=.（2）如图，△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=40°，∠DAE=80°,则∠ACD=______（3）如图，△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∠BOC=130°，则∠A=______6、如图，是的边上一点，过点作//交于点，作//交于点，若，则①是的角平分线吗？（写出证明过程）②若，你能求出四边形的周长吗？例9。1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，AB＝13cm,BC=12cm,AC=5cm,小明说利用面积关系就能求出CD的长.请你帮他求出CD的长.2、在△ABC中已知∠ABC=66°∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.如图，△ABC中，高AD与CE的长分别为2㎝、4㎝。求AB与BC长度的比是多少？若AB=5cm，求BC。若AC边上的高为3㎝AB=5cm你能求出△ABC的周长吗？4、在中，已知三条高AD、BF、CE相交于点O，求的度数。1、如图，在△ABC中：画出∠C的平分线CD画出BC边上的中线AM画出△ACM的边MC上的高2、（1）如右图，在中，为高的交点，若，，则（2）如右图，在中，，的两条高交于点，则______；（3）锐角中，是两条高，相交于点，是两条角平分线，相交于点，如果，则_________；BBAC3、如图，是等边三角形内任意一点，，是边上的高，试说明：。4、勤于思考的小聪，正在思考这样的一个问题：三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都分别交于一点，哪种线的交点有时在三角形内、有时在三角形外；哪种线的交点始终在三角形的内部？你能解答小聪这个问题吗？请你通过作图来解答这个问题.(需指明什么样的三角形)例10、已知在中，，是的一条角平分线。如图①，于，请直接写出与的数量关系（不用证明）；如图②，是上一点，与，这时与有怎样的数量关系？请说明理由；如图③，是线段延长线上一点，与，这时与又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不用证明）。1、.已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小.2、如图，AD为的中线，BE为中线，（1），求的度数；（2）在中作BD边上的高；（3）若的面积为60，，求点E到BC边的距离为多少？（1）如图，在中，平分，于点，，，则____；（2）如图，在中，，，是上的高，是的平分线，则_________；3.锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数.、ABABCDEFHG4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H，求证：①S△ABE＝S△BCE②∠BHF＝45°③∠FAG＝2∠ACF5．.锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数.6、如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时,求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.7、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△AB