2023-2024学年广西贵港市港北六中九年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析)

2023-2024学年广西贵港市港北六中九年级第一学期月考数学试卷（9月份）一.选择题（每小题3分，共36分）1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（）A． B．y＝2x+1 C． D．3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥6 B．m＞6 C．m≤6 D．m＜64．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（）A．m＝2 B．m＝4 C．m＝±2 D．m＝﹣25．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+56．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≤0 C．k≠1且k≠0 D．k≤1且k≠07．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝6，EF＝5，那么线段DE的长为（）A．10 B． C． D．8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．3 D．4.511．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（）A．30 B．27 C．14 D．3212．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝二.填空题（每题2分，共12分）13．若，则＝．14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝．15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是．16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为cm．17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为．三.解答题19．解方程：（1）x2﹣2x＝2x+1（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．

参考答案一.选择题（每小题3分，共36分）1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．解：由＝得，3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；B、由等式性质可得2a＝3b，错误；C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（）A． B．y＝2x+1 C． D．【分析】根据反比例函数的定义判断即可．解：A．y＝，是反比例函数，故A符合题意；B．y＝2x+1，是一次函数，故B不符合题意；C．y＝x2，是二次函数，故C不符合题意；D．y＝，是一次函数，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥6 B．m＞6 C．m≤6 D．m＜6【分析】由于反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质可推知比例系数m﹣6＜0，据此即可求出m的取值范围．解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴m﹣6＜0，∴m＜6．故选：D．【点评】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道：对与y＝，当k＞0时，函数图象位于一、三象限；当k＜0时，函数图象位于二、四象限．4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（）A．m＝2 B．m＝4 C．m＝±2 D．m＝﹣2【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，即可求解．解：∵方程是一元二次方程，∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+4）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+5【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，1）．∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣2）2+1．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≤0 C．k≠1且k≠0 D．k≤1且k≠0【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，∴k≤1且k≠0，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．7．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝6，EF＝5，那么线段DE的长为（）A．10 B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，EF＝5，∴＝，∴DE＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．【分析】根据∠DAB＝∠CAE，可以得到∠DAE＝∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．解：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，故①正确；∴＝，即＝，故②正确；∴＝，故③错误；∴＝，即＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．3 D．4.5【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长．解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，∴DF＝AB＝3，∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4.5，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．11．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（）A．30 B．27 C．14 D．32【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，CD∥AB，BC∥AB，∴△BEF∽△AED，∵，∴，∴，∵△BEF的面积为4，∴S△AED＝25，∴S四边形ABFD＝S△AED﹣S△BEF＝21，∵AB＝CD，，∴，∵AB∥CD，∴△BEF∽△CDF，∴，∴S△CDF＝9，∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABFD+S△CDF＝21+9＝30，故选：A．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．12．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．二.填空题（每题2分，共12分）13．若，则＝．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝﹣6064．【分析】根据已知得2a2+3a＝2022，再将所求式子变形后整体代入即可．解：∵a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，∴2a2+3a﹣2022＝0，∴2a2+3a＝2022，∴2﹣9a﹣6a2，＝2﹣3（3a+2a2）＝2﹣3×2022＝2﹣6066＝﹣6064，故答案为：﹣6064．【点评】本题考查一元二次方程的解及求代数式的值，解题的关键将已知和所求式子适当变形，再应用整体思想解决问题．15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是k＜．【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出2k﹣1＜0，然后解这个不等式就可以求出k的取值范围．解：∵双曲线的图象经过第二、四象限，∴2k﹣1＜0，∴k＜，故答案为：k＜．【点评】本题考查了反比例函数的图象及其性质，一元一次不等式的解法．16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为（3﹣）cm．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．解：∵点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2cm，∴AC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝（3﹣）cm，故答案为：（3﹣）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC＝∠AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．同理可得：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．【点评】此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC＝∠AED并求证△ABC∽△AED是解题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16．【分析】可证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DEF：S△BAF＝9：16．故答案为：9：16．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．三.解答题19．解方程：（1）x2﹣2x＝2x+1（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，x﹣3＝0或2﹣3x＝0，所以x1＝3，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，则∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，由DE⊥AM于点E，得∠AED＝∠B＝90°，即可证明△ADE∽△MAB；（2）首先由矩形的性质得到AB＝CD，然后根据相似三角形的性质求出AM和AE得出，进而求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，∵DE⊥AM于点E，∴∠AED＝∠B＝90°，∴△ADE∽△MAB；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴，∵△ADE∽△MAB∴，即，解得AM＝6，AE＝4，∴EM＝AM﹣AE＝2．【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）把A（1，6）代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，把B（3，n）代入可求出n值，利用待定系数法即可得出一次函数解析式；（2）根据A、B坐标，利用图象找出一次函数图象在反比例函数图形上方时x的取值范围即可得答案；（3）设直线AB交x轴于D，根据一次函数解析式可求出D点坐标，根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD即可得答案．解：（1）将A（1，6）代入得m＝6，∴反比例函数为，把B（3，n）代入的，n＝，∴B（3，2）将A（1，6）和B（3，2）代入y＝kx+b得解得，∴一次函数的表达式是y＝﹣2x+8．（2）∵A（1，6），B（3，2）∴观察图象得：kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围为1＜x＜3．（3）设直线AB交x轴于D，∴y＝0时，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴点D（4，0），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝．【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE＝＝＝12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ADF∽△DEC．23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．解：（1）设月平均增长率是x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：月平均增长率是20%．（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．又∵要尽量减少库存，∴y＝20．答：售价应降低20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．【分析】先判定△DEF∽△DCB，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠BCD，DE＝30cm＝0.3m，EF