安徽省合肥市肥东中学2023-2024学年高二数学第一学期期末调研试题含解析

安徽省合肥市肥东中学2023-2024学年高二数学第一学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若数列满足，则的值为（）A.2 B.C. D.2．以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是（）A.0 B.1C.2 D.33．椭圆的长轴长为（）A. B.C. D.4．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.5．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A.4 B.7C.8 D.147．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.8．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.9．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，直线FA与抛物线的准线交于点M，O为坐标原点.若，且，则（）A.1 B.2C.3 D.410．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）A. B.C. D.到平面MON的距离为111．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A. B.C. D.12．已知数列的通项公式为，则（）A.12 B.14C.16 D.18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是______14．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______15．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________16．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点和圆.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）设为圆上的点，求的取值范围.18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.（1）证明：直线PF//平面ACG；（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值.19．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值20．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.（1）求点到平面的距离；（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.21．（12分）已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由22．（10分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】通过列举得到数列具有周期性，，所以.详解】，同理可得：，可得，则.故选:C.2、C【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.3、D【解析】由椭圆方程可直接求得.【详解】由椭圆方程知：，长轴长为.故选：D.4、A【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.5、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B6、A【解析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.【详解】数列{an}是等差数列，，那么，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.7、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.8、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.9、D【解析】设，由和在抛物线上，求出和，利用求出p.【详解】过A作AP垂直x轴与P.抛物线的焦点为，准线方程为.设，因为，所以，解得：.因为在抛物线上，则.所以，即，解得：.故选：D10、D【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则.对A，，则，则A正确；对B，，则，则B正确；对C，，则C正确；对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.故选：D.11、A【解析】求出，分析可得，可得出关于、、的齐次等式，由此可求得该双曲线的离心率的值.【详解】联立，可得，则，易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，又因为为等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.12、D【解析】利用给定的通项公式直接计算即得.【详解】因数列的通项公式为，则有，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，所求的双曲线方程为：，整理得故答案为【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.14、【解析】利用导数求出切线的斜率即得解.【详解】解：由题得，所以切线的斜率为，所以切线的方程为即.故答案为：15、【解析】根据题干求得圆的圆心及半径，再利用圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上确定圆的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为，所以圆心，半径为由圆心在直线上，可设因为与轴相切，与圆外切，于是圆的半径为，从而，解得因此，圆的标准方程为故答案为：【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.16、【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.【详解】直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即，联立，解得，即的外心为，所以，的外接圆的半径为，因此，的外接圆方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）圆心的坐标为，半径；（2）【解析】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；（2）由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求【小问1详解】解：由，得，圆心的坐标为，半径；【小问2详解】解：，，，，的取值范围是18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接EC，设EB与AC相交于点O，结合已知条件利用线面平行的判定定理可证得OG//平面PEF，再由三角形中位线定理结合线面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，从而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，进而可证得结论，（2）由已知可证得PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【小问1详解】证明：连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，因为BC//AD，且，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，所以OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，因为OG平面PEF，PE⊂平面PEF，所以OG//平面PEF，因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，因为AC平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC//平面PEF，因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因为PF⊂平面PEF，所以PF//平面GAC.【小问2详解】因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，设平面ACG的法向量为，则，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，设直线PD与平面ACG所成角为θ，则，所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为20、（1）（2）线段上存在一点，当时，平面.【解析】（1）设点到平面的距离为，则由，由体积法可得答案.（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.【小问1详解】由，，为中点，则由平面，平面,则又，且,则平面又，则平面,且都在平面内所以所以,取的中点，连接，则,所以,所以所以所以则设点到平面的距离为，则由即,即【小问2详解】线段上是否存在一点，使平面.由（1）连接,则四边形为平行四边形，则过点作交于，则为中点，则为的中点,即又平面，则平面过点作交于点，连接，则,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以线段上存在一点，当时，平面.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径，因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，于是得，因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，所以轨迹的方程为.【小