昌都市2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题含解析

昌都市2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（）A.28 B.C. D.2．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④3．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.4．经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（）A. B.C. D.5．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B.C. D.6．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.7．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）A. B.C. D.18．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.759．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A.720种 B.600种C.480种 D.384种10．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.11．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A. B.C. D.12．在空间四边形中，，，，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则不等式的解集为____________14．无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.15．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______16．已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆M：＝1的右焦点重合.（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，当m为何值时，＝0.18．（12分）已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；（2）是否存在实数，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．（12分）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程；（2）过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点20．（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.21．（12分）已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.22．（10分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合即可算出△的周长【详解】双曲线方程为，，根据双曲线的定义，得，，，，相加可得，，，因此△的周长，故选：C2、A【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A3、A【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.【详解】圆的圆心为，半径为.设左焦点为，连接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故选：A4、A【解析】直接代入点斜式方程求解即可详解】因为直线经过点且斜率为2，所以直线的方程为，即，故选：5、A【解析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.故选：A.6、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意又则有：可得：，，中，中．可得：解得：则有：故选：C7、C【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，半径为，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：C.8、C【解析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C9、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：D.10、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.11、D【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.12、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】..故选:A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】易得函数为奇函数，则不等式即为不等式，利用导数判断函数得单调性，再根据函数得单调性解不等式即可.【详解】解：函数得定义域为R，因为，所以函数为奇函数，则不等式即为不等式，，所以函数在R上是增函数，所以，解得，即不等式的解集为.故答案为：.14、7578【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得【详解】∵成等比数列，，∴，又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，∴数列是周期数列，周期为4∴故答案为：757815、100【解析】根据棱柱体积公式直接可得.【详解】故答案为：10016、【解析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解析】（1）由椭圆的右焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可【小问1详解】由题意，椭圆＝1的右焦点为（1，0），抛物线y2＝2px的焦点为（，0），所以，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；【小问2详解】因为直线y＝x+m与抛物线C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因为，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.18、（1）单调增区间是，单调减区间是；最大值为；（2）存在，.【解析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值；（2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值.【详解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的单调增区间是，单调减区间是；的极大值为；也即的最大值为.（2）解：∵，∴，①当时，单调递增，得的最大值是，解得，舍去；②时，由，即，当，即时，∴时，；时，；∴的单调增区间是，单调减区间是，又在上的最大值为，∴，∴；当，即时，在单调递增，∴的最大值是，解得，舍去；综上：存在符合题意，此时.【点睛】本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性及求解函数的最值中的应用，还考查了函数的最值求解与分类讨论的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件.19、（1）与半径相等，（2）证明见解析【解析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍；（2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决.【小问1详解】圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，所以其与半径相等.因为，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点），且有，，即，，，则点E的轨迹方程为；【小问2详解】当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，，，，则，∴，此时直线MN的方程为当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，有则将*式代入化简可得：，即，∴，此时直线MN：，恒过定点又直线MN斜率不存在时，直线MN：也过，故直线MN过定点.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。20、（1）证明见解析：（2）【解析】(1)代入,求导分析函数单调性,再的最小值即可证明.(2),若函数在上存在两个极值点,则在上有根.再分,与,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.【详解】(1)证明：当时,,则,当时,,则,又因为,所以当时,,仅时,,所以在上是单调递减,所以,即.(2),因为,所以,①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.②当时,在区间上单调递增,因为.当时,,所以在上单调递减,没有极值点.当时,,所以存在,使当时,时,所以在处取得极小值,为极小值点.综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值,进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.21、（1）；（2）﹒【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒【小问1详解】以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；【小问2详解】设，，则的周长为当轴时，l的方程为，，，当l与x轴不垂直时