福建省龙岩市龙岩二中2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题含解析

福建省龙岩市龙岩二中2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.2．已知两个向量，若，则的值为（）A. B.C.2 D.83．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3C.9 D.815．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（）A. B.C. D.6．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是A. B.C. D.7．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.8．下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分非必要条件B.“”是“”的必要非充分条件C.在中“”是“”的充分非必要条件D.“”是“”的充要条件9．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.510．若，则的值为（）A.或 B.或C.1 D.－111．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.212．已知等差数列，，则公差d等于（）A. B.C.3 D.-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为________14．若，m，三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为______15．若直线与直线平行，则________.16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求数列{}的通项公式；（2）若＝·，求数列的前n项和18．（12分）已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围19．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）20．（12分）总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元（1）每台充电桩第几年开始获利？（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大21．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点（1）若线段的中点为，求的值；（2）若，求证：原点到直线的距离为定值22．（10分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.（1）求证：平面PAC；（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论【详解】解：故选：【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题2、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为，所以，即，解得.故选：B3、B【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中，所以是等方差数列，D正确故选：B4、A【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以值为1.故选：A5、B【解析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有，即可知正确选项.【详解】A：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；B：，则，故是“凸函数”；C：，则，故不是“凸函数”；D：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；故选：B6、B【解析】利用函数的奇偶性将函数转化为f（M）≤f（N）的形式，再利用单调性脱去对应法则f，转化为一般的二次不等式求解即可【详解】由于，，则f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可转化为f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函数f（x）单调递增，则由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故选B【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题7、D【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【详解】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，故选：D8、B【解析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.【详解】当时，，非充分，故A错.当不能推出，所以非充分，，所以是必要条件，故B正确.当在中，，反之，故为充要条件，故C错；当时，，，，充分条件，因为，当时成立，非必要条件，故D错.故选：B.9、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.10、B【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.【详解】，，解得或，故选：B11、B【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.12、B【解析】根据题意，利用公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列，，可得等差数列的公差.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据渐近线方程、焦距可得，，再根据双曲线参数关系、焦点的位置写出双曲线标准方程.详解】由题设，可知：，，∴由，可得，，又焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为.故答案为：.14、【解析】由等差中项的性质求参数m，即可得曲线标准方程，进而求其离心率.【详解】由题意，，可得，所以圆锥曲线为，则，，故.故答案为：.15、【解析】根据直线平行的充要条件即可求出【详解】当时，显然两直线不平行，所以依题有，解得故答案为：16、【解析】令则，∴在R上是减函数又等价于∴故不等式的解集是答案：点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；（2）分析可知应用错位相减法求数列的和【详解】（1）由知，数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，即数列的通项公式为（2），，，两式相减得：，整理得：，所以18、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【小问1详解】由题意可得：解得：，所以椭圆的方程：【小问2详解】当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，所以，又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为·所以，因为，所以，所以∵，∴，综上，所以的范围是19、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位数69.4【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；（2）由高分频率乘以600即可；（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.【小问1详解】由题意可知：解得小问2详解】高分的频率约为：故高分人数为：【小问3详解】平均值为，设中位数为x，则故中位数为69.420、（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【解析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【详解】（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），开始获利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为当且仅当，即n=9时，等号成立即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【点睛】本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值【小问1详解】设，则，，两式相减，得，即，所以，即，又因为线段的中点为，所以，即；【小问2详解】设斜率为的直线为，，由，得，所以，，因为，所以，即，