福建省莆田四中、莆田六中2023-2024学年高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

福建省莆田四中、莆田六中2023-2024学年高二数学第一学期期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，，，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）A. B.C. D.3．记为等差数列的前n项和，有下列四个等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁4．函数在上的最小值为（）A. B.4C. D.5．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.6．设是公差的等差数列，如果，那么（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.8．若关于一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C D.10．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.11．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.14．经过、两点的直线斜率为______.15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现在有从高到低依次为大夫，不更，簪裹，上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次商低分（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则不更所得的鹿数为_______只16．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：（1）根据统计图填写下面列联表，是否有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学的时长不超过1小时25每天在线学习数学的时长超过1小时总计45（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率附：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）20．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明21．（12分）各项都为正数的数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.22．（10分）已知：对任意，都有；：存在，使得（1）若“且”为真，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.【详解】设公差为，因为，，所以，即，从而.故选：A.2、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.【详解】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D3、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案【详解】设数列的公差为，若甲不成立，则，由①，③可得，此时与②矛盾；A错，若乙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；B错，若丙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；C错，若丁不成立，则，由①，③可得，此时；，D对，故选：D.4、D【解析】求出导数，由导数确定函数在上的单调性与极值，可得最小值【详解】，所以时，，递减，时，，递增，所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值．故选：D5、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C6、D【解析】由已知可得，即可得解.【详解】由已知可得.故选：D.7、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.8、B【解析】结合判别式求得的取值范围.【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B9、B【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设，则，两式相减得，即，则直线方程为，即.故选：B.10、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，知，则，即有，故，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B.11、A【解析】求出、的值，可得出双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：A.12、D【解析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因为，所以①②两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.14、【解析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.15、【解析】由题意分析，利用等差数列基本量代换列方程组即可求解.【详解】记大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的猎物数为等差数列，公差为d，由题意可得，即，解得，∴故答案为：16、人##300【解析】根据人数占比直接计算即可.【详解】该校女生共有人.故答案为：人.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面的法向量和的坐标，点到平面的距离.计算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案.【小问1详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则..故点到平面的距离.【小问2详解】平面的法向量，平面与平面夹角的余弦值.18、（1）表格见解析，有（2）【解析】（1）根据统计图计算填表即可；（2）根据古典概型计算公式计算即可.【小问1详解】根据统计图可得：每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩不超过120分的有人，每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩超过120分的有人，每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩不超过120分的有人，每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩超过120分的有人，可得列联表如下：数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学的时长不超过1小时151025每天在线学习数学的时长超过1小时51520总计202545根据列联表中的数据，所以有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”【小问2详解】由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，人数比为2∶3，按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过1小时的抽2人，记为：1，2；每天在线学习数学的时长超过1小时的抽3人，记为：a，b，c.所有可能结果如下：，共计10种．设事件A为“两名同学中至多有一名每天在线学习数学时长超过一小时”包含这7种可能结果所以19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，且，，，，又，侧棱底面，，，平面（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，解得，故所求（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题20、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立.【小问1详解】解：函数的定义域为，，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时，，所以当时，21、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；（2）化简，结合裂项相消法求出数列的和；（3）利用分组法求得，结合，即可求得的最小值.【小问1详解】解：因为各项都为正数的数列的前项和为，且满足，当时，解得；当时，；两式相减可得，整理得（常数），故数列是以2为首项，2为公差的等差数列；所以.【小问2详解】解：由，可得，所以，所以.【小问3详解】解：由，可得，所以当为偶数时，