广东省广州三中2023年高二上数学期末复习检测试题含解析

广东省广州三中2023年高二上数学期末复习检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.2．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.3．已知直线和直线互相垂直，则等于（）A.2 B.C.0 D.4．已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为（）A. B.C. D.5．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝16．若动点在方程所表示的曲线上，则以下结论正确的是（）①曲线关于原点成中心对称图形；②动点到坐标原点的距离的取值范围为；③动点与点的最小距离为；④动点与点的连线斜率的取值范围是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④7．不等式解集为（）A. B.C. D.8．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A B.C. D.9．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（）A. B.C. D.a，b的大小无法判断10．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（）A. B.C. D.11．已知事件A，B相互独立，，则（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.1612．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于下面这个等式我们除了可以用等比数列的求和公式获得，还可以用数学归纳法对其进行证明“”，那么在应用数学归纳法证明时，当验证是否成立时，左边的式子应该是_______14．曲线的长度为____________.15．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.16．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值18．（12分）已知曲线在处的切线方程为，且.（1）求的解析式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.20．（12分）已知直线与抛物线交于两点（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；（2）若交于，求的值21．（12分）在数列中，，，记.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）试判断数列的增减性，并说明理由22．（10分）2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.（1）若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；（2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B2、A【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A3、D【解析】利用直线垂直系数之间的关系即可得出.【详解】解：直线和直线互相垂直，则，解得：.故选：D.4、D【解析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果.【详解】因为直线过点，且方向向量为，由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：，整理，得.故选：D5、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.故选：D.6、A【解析】将原方程等价变形为，将方程中的换为，换为，方程不变，可判断①；利用两点间的距离公式，结合二次函数知识可判断②和③；取特殊点可判断④.【详解】因为等价于，即，对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称图形，故①正确；对于②，设，则动点到坐标原点的距离，因为，所以，故②正确；对于③，设，动点与点的距离为，因为函数在上递减，所以当时，函数取得最小值，从而取得最小值，故③不正确；对于④，当时，因为，所以，故④不正确.综上所述：结论正确的是：①②.故选：A7、C【解析】化简一元二次不等式的标准形式并求出解集即可.【详解】不等式整理得，解得或，则不等式解集为.故选：.8、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.9、A【解析】首先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.【详解】设，，所以函数在单调递增，即，所以，那么，即.故选：A10、B【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.11、B【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以故选：B12、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据已知条件，结合数学归纳法的定义，即可求解.【详解】当，，故此时式子左边=.故答案为：.14、【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线（）的长度是，故答案为：.15、##【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：16、或【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，所以，则，且切线斜率，即，所以切线方程或，整理得或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）极大值为12，极小值-15【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可.（2）利用导数求解极值即可.【小问1详解】，，切点为，故切线方程为，即；【小问2详解】令，得或列表：-12+0-0+单调递增12单调递减-15单调递增函数的极大值为，函数的极小值为.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.【小问1详解】，∴，，，，，切线方程为，即，∴.【小问2详解】令，，，当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；当时，设，①当，，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，所以，故符合题意；②当时，，，所以在上递增，在上递减，且，所以当时，，则在上单调递减，且，故，，舍去.综上：19、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点（2）答案见解析【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.【小问1详解】根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.【小问2详解】解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，，由抛物线定义知：，当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.20、（1）6（2）2【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.【小问1详解】取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小问2详解】设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.21、（1）证明见解析，（2）数列单调递减.【解析】（1）根据等差数列的定义即可证明数列为等差数列，然后套用等差数列的通项公式即可；（2）先根据（1）的结论求出数列的通项，然后用作差法即可判断其单调性【小问1详解】因为，，所以，所以，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，【小问2详解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以数列单调递减.22、（1）（2）选择方案二更划算【解析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；（2）若