广西南宁市外国语学校2023年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

广西南宁市外国语学校2023年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足，则当a在上增大时，关于的表述下列正确的是（）X013PabA增大 B.减小C.先增大后减小 D.先减小后增大2．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3 B.6C.8 D.123．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.644．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.5．已知是等差数列，，，则公差为（）A.6 B.C. D.26．设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）A. B.C. D.7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据：，）A.6 B.7C.8 D.98．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.410．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A. B.C.3 D.11．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．在中，若，，则外接圆半径为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，则_______14．点到抛物线上的点的距离的最小值为________.15．在棱长为1的正方体中，___________.16．若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（12分）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，E的离心率为.短轴长为2.（1）求椭圆E的方程：（2）过点的直线l交椭圆E于A，B两点，是否存在实数t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.19．（12分）数列中，，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.20．（12分）如图，在直三棱柱中，，E、F分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面21．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.22．（10分）已知直线经过点，，直线经过点，且.(1)分别求直线，的方程；(2)设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先求得参数b，再去依次去求、、，即可判断出的单调性.【详解】由得则，由得a在上增大时,增大.故选：A2、B【解析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.3、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.4、A【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A5、C【解析】设的首项为，把已知的两式相减即得解.【详解】解：设的首项为，根据题意得，两式相减得.故选：C6、B【解析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，由得：，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：，，经检验：满足，，故选：B.7、C【解析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.故选：C8、A【解析】根据椭圆的对称性椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.【详解】的周长，又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，所以，又因为三点不共线，所以，所以的周长的取值范围为，故选：A.9、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A10、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C11、A【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A12、A【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.【详解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：14、【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式，配方求出最小值.【详解】设抛物线上的点坐标，则，当时，取得最小值，且最小值为.故答案为：15、1【解析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，，故答案为：116、【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程【详解】点到点的距离比它到直线的距离少1，所以点到点的距离与到直线的距离相等，所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为，所以方程为，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.小问1详解】根据题意，设公比为，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小问2详解】根据题意，得，故，因此.18、（1）（2）存在，【解析】(1)由条件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得椭圆E的方程：(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程化简可得，设，，可得，，由此证明，再证明当直线的斜率不存在时也成立，由此确定存在实数t，使得恒成立【小问1详解】由已知得，离心率，所以，故椭圆E的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设，，，联立方程组得，，所以，..，，所以.所以.当直线l的斜率不存在时，，联立方程组，得，.，，所以.综上，存在实数使得恒成立.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，∴，∴，从而，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，则，∴，∴.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点．根据三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质可证得，再由线面平行的判定定理可得证；（2）由线面垂直的性质和判定可得证.【详解】证明：（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点因为E、F分别是与的中点，所以，则，从而为平行四边形，则又因为平面平面，所以平面（2）由平面，因为平面，所以而，M为的中点，所以因为，所以平面，由（1）有，故平面21、（1）极小值为，无极大值；（2）.【解析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，当时，.由，得.当变化时，，的变化情况如下表-0+单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.（2）对，恒成立，即对，恒成立.令，则.由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，因此.所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.22、（1）；（2）.【解析】（1）根据两点式即可求出直线l1的方程，根据直线垂直的关系即可求l2的方程；（2）先求出C点坐标，通过三角形的长度关系知道三