一些重要不等式的证明及应用定稿

毕业论文（设计）利用柯西不等式来证明时，有些可以直接应用，有些则需要使用一些方法如拆分常数、改变结构、重新排列等，来构造出符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关问题的目的。同时，与其他定理的应用一样，对柯西不等式也要正用、逆用、变用、连用、巧用.2.Schwarz不等式的证明及应用2.1Schwarz不等式的基本形式Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz不等式.它通过积分定义，直接由Cauchy不等式推得.定理2若在上可积，则（2）若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为零）.2.2Schwary不等式的几种证明方法证明方法一：将等分，令应用Cauchy不等式，方法二：令取极限即可由此可以看出，若连续，等号当且仅当存在常数（不全为零）使得时成立.2.3Schwary不等式的应用类似可以推广到一般情况，若函数，在上可积，则。若在上连续，其中等号当且仅当线性相关时成立.应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式.使用时要注意恰当地选取函数与.从下面例子可以看出，在证明其他不等式时有时需要对积分作适当的变形，才能使用Schwarz不等式.例1已知，在上连续，为任意实数，求证：证明如下：上式左端第一项应用Schwarz不等式所以同理可得把上面两式相加即可得出.例2设在上有连续的导函数，，试证：证明：令,,则，由知，因此（应用Schwarz不等式）3.平均值不等式的证明及应用3.1平均值不等式的基本形式定理3对任意个实数恒有（3）（即几何平均值算术平均值），其中等号当且仅当时成立.3.2平均值不等式的几种证明方法证明此不等式我们通常采用大家都比较熟悉的反向归纳法.证明方法一：要想证明命题对一切成立,首先有:(等号当且仅当)其次(等号当且仅当时成立)类似,,重复上述方法k次（等号当且仅当时成立）方法二：令A=，那么假设不等式对成立，则=所以这表明不等式对成立.跟时一样，等号当且仅当时成立.所以此不等式成立.3.3平均值不等式的应用例3设正值函数在上连续，试证：证明：由条件知在上可积.将等分，作积分和，所以应用定理所以原题得证平均值不等式的推广形式定义1：设，记称为的次幂平均，它与算术平均的关系是定义2：（加权平均）记，和分别称为的加权（r次幂）算术平均和加权几何平均.引理1设，不全相等，则引理2引理3设不全相等，则有则亦即：只有全相等时才变成.定义3：设函数,及,在上有定义，且下面所出现的积分有意义，记，，若，记它们分别称为的加权算术平均，加权算术平均和加权几何平均，其中称为权函数.若用取代，则，称为的标准化.那么平均值不等式的积分形式为设所证得积分有意义，则则（包括的情况）.4.Holder不等式的证明及应用4.1Holder不等式的基本形式定理4设为实数：，则当；（4）当。（5）其中等号当且仅当时成立.4.2平均值不等式的几种证明方法证明方法一：当k>1时，这时当且仅当时成立方法二：当k<1时，利用方法一把分别看作与则得到，即且不等式的等号当且仅当与成比例时成立.4.3Holder不等式的积分形式设，并且使得所论的积分有意义，为共轭实数（即：），则当（时）当（时）若连续，则其中的等号当且仅当与成比例时成立.例4试证明：证明如下：令，，于是原式的左端总结在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在与现实世界里，但人们对于不等式的认识要比方程晚的多。直到17世纪以后不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。在研究不等式的过程中要注重不等式的性质，不等式的证明方法。上述是几种常见的重要不等式，从证明方法及其推广形式来阐述几种不等式，而且证明这些不等式的方法也是非常典型的。不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种证明方法，并用例题作一一讲解，意在抛砖引玉。参考文献[1]朱时.数学分析札记[M].贵州：贵州省教育出版社，1994：130-145[2]南京师范大学主编.数学分析选论[M].江苏：江苏教育出版社，1988：76-88[3]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001：79-82[4]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003：111-130[5]裴礼文，解际太.数学分析中典型问题的方法[M].北京：高等教育出版社，1991：180-207[6]赤勇，.考研精选.华中理工大学出版社[M].湖北：高等教育出版社，2005：89-95ProofsandapplicationsofsomeimportantinequalitiesChenWeili(Major:MathematicsandAppliedmathematics,2009012985)Supervisor:Prof.NiuYingxuanAbstract:Inhighermathematicsisoneoftheimportantcontent，Thispaperdiscussessomeimportantinequalities。Theseinequalitiesareimportantnotonlyinitself。Buttheseinequalitiesproofmethodisalsoverytypical。ThispaperdiscussesseveralimportantinequalityandCauchyinequality,Schwarzinequality,inequalityandthebasicformofHolderinequalityanditsproofandgeneralization。Wealsogivesomeapplicat