全国各地初中数学竞赛专题大全《代数式 》真题强化训练(附解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页全国九年级数学竞赛《代数式》专题大全（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）化简的结果是（

）．A． B． C． D．22．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且，则的值等于（

）．A． B．5 C． D．93．（2021·全国·九年级竞赛）设a，b，c的平均数是M，a，b的平均数是N，N与c的平均数是P．若，则M与P的大小关系是（

）．A． B． C． D．不能确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设，则（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算______．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算____．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数满足，则_______．8．（2021·全国·九年级竞赛）已知，那么_______．9．（2021·全国·九年级竞赛）计算__，其中．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数满足，则分式值为__________．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________．12．（2021·全国·九年级竞赛）计算___________．13．（2021·全国·九年级竞赛）_______．三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算其中“”，时把“”错抄成“”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么?15．（2021·全国·九年级竞赛）计算．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知，求的值．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数与的大小29．（2021·全国·九年级竞赛）若为整数且，求的值．30．（2021·全国·九年级竞赛）若，计算的值．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．34．（2021·全国·九年级竞赛）若，试比较与的大小．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算的值．36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式，当时，；当时，求代数式的值．38．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）；（2）．39．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）；（2）．40．（2021·全国·九年级竞赛）如果，求的值．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算_________．42．（2021·全国·九年级竞赛）若，则称是等差数列，叫的公差．证明：（1）；①（2）．②43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：．47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．竞赛专题2代数式解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）化简的结果是（

）．A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解法一

设，则．解法二

原式．故选：B．2．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且，则的值等于（

）．A． B．5 C． D．9【答案】C【解析】【分析】【详解】解：．又，所以，即．故选：C．3．（2021·全国·九年级竞赛）设a，b，c的平均数是M，a，b的平均数是N，N与c的平均数是P．若，则M与P的大小关系是（

）．A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】【分析】【详解】解

依题意，．因，故，即．故应选B4．（2021·全国·九年级竞赛）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：，所以．故选：A．二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算______．【答案】【解析】【分析】【详解】解：令，则原式．故答案为：．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算____．【答案】【解析】【分析】【详解】解：令，则．于是，原式．故答案为：．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数满足，则_______．【答案】4【解析】【分析】【详解】解：因，由题意得．又，从而．代入得，所以．故答案为：4．8．（2021·全国·九年级竞赛）已知，那么_______．【答案】【解析】【分析】【详解】解：因为，所以．故答案为：．9．（2021·全国·九年级竞赛）计算__，其中．【答案】4【解析】【分析】【详解】解：令则原式．故答案为：4．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数满足，则分式值为__________．【答案】【解析】【分析】【详解】解：由题意得方程组解出所以．故答案为：．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________．【答案】3【解析】【分析】【详解】解：因，则，即，于是，应用带余除法得．故答案为：3．12．（2021·全国·九年级竞赛）计算___________．【答案】【解析】【分析】【详解】解:因为，所以原式．故答案为：．13．（2021·全国·九年级竞赛）_______．【答案】【解析】【分析】【详解】解:原式．故答案为：．三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算其中“”，时把“”错抄成“”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么?【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】解：令，则，于是原式．故把“”错写成“”了，计算结果仍然是正确的．15．（2021·全国·九年级竞赛）计算．【答案】3．【解析】【分析】【详解】解：设，则原式．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知，求的值．【答案】．【解析】【分析】【详解】解：记，则，．故所求原式的值为．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

因为所以，原式．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

因为所以．19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

令，则原式．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

设，则，于是原式．21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

为了能使用公式，我们将中间项拆成，于是原式．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解法一

原式．解法二

原式．23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解法一

原式．解法二

原式．24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解原式．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解法一

原式．解法二

原式．26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解法一

原式．解法二

原式．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

原式．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数与的大小【答案】【解析】【分析】【详解】解

设，则，于是，所以．29．（2021·全国·九年级竞赛）若为整数且，求的值．【答案】2，见解析．【解析】【分析】【详解】解：因均为整数，故均为非负整数，由，只能得或者．当时，，这时．当时，，这时．故总有．30．（2021·全国·九年级竞赛）若，计算的值．【答案】4．【解析】【分析】【详解】解：原式．由得，代入上式得原式．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．【答案】．【解析】【分析】【详解】解：因均不为0，且，故中或两正一负，或两负一正，且，所以．于是．32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．【答案】0．【解析】【分析】【详解】解：令，则原式．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．【答案】【解析】【分析】【详解】解：设，则，于是原式．34．（2021·全国·九年级竞赛）若，试比较与的大小．【答案】，见解析．【解析】【分析】【详解】解：设，则．所以．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算的值．【答案】【解析】【分析】【详解】解：注意到，于是原式．36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：．【答案】998．【解析】【分析】【详解】解：注意到，所以原式．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式，当时，；当时，求代数式的值．【答案】1998．【解析】【分析】【详解】解：当时，，代入，得，即．所以当时，有．故所求代数式的值为1998．38．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】【详解】解:（1）因为，于是由公式⑦和③得，故．⑧（2）因为，于是由公式③和⑦得，或因，于是由公式⑦，⑧和③得，故．⑨39．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】【详解】解:（1）因为，所以．（2）因为，所以

．注：用类似方法可以证明：．⑦40．（2021·全国·九年级竞赛）如果，求的值．【答案】【解析】【分析】【详解】解:由，且，得，解得．又，所以原式．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算_________．【答案】【解析】【分析】【详解】解：因为．

（*）记，则将中求和顺序反过来写有，将两式对应项相加，并利用等式（*）得，所以．故答案为：42．（2021·全国·九年级竞赛）若，则称是等差数列，叫的公差．证明：（1）；①（2）．②【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】【详解】证明：（1）．（2）因为，故．令，又将和式中顺序反过来写有．两式对应项相加，并利用得，所以．注：在②中令或，我们分别得到③④公式②、③、④在许多求和问题中要用到，应当记住这些公式．43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

将题中多项式看成的多项式，记为，并按的降幂整理为：．因为，故有因式．由综合除法：所以．44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

若，则有因式，且只可能为系数2的因数：只能是常数项的因数：，故只可能为．又，于是1是的一个根，从而是的一个因式．由综合除法：故．45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

先用十字相乘法对分解因式：因为（Ⅰ）所以，于是原式．又因为（Ⅱ）（上式中与不能省略．）所以，原式．注：（1）例20中我们连续两次用了十字相乘法，故这种分解二元二次多项式的因式的方法又叫做双十字相乘法．（2）例20中若令（或），可得[或]．此式可用十字相乘法求出：（Ⅲ）故也可由（Ⅰ）、（Ⅲ）（或（Ⅰ）、（Ⅲ′））得出原式的因式分解，且（Ⅰ）、（Ⅲ）[或（Ⅰ）、（Ⅲ′）]可合并写成一个算式：46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解

原式．设，则原式．47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【解析】【分析】【详解】解法一

以为主元降幂排列，再配方得：原式．解法二

原式．解法三

注意到下列