河南省南阳市内乡县高中2024届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

河南省南阳市内乡县高中2024届高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.652．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）A. B.C. D.3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B.C. D.4．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C. D.5．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.486．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（）A. B.C. D.7．计算复数：（）A. B.C. D.8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则9．某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（）A.5 B.10C.12 D.1510．设集合或，，则（）A. B.C. D.11．“”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.15．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；（2）在区间40，50）和90，100内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.16．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B.椭圆上存在点，使得C.椭圆的离心率为D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形（1）证明：是中点；（2）求点到平面的距离18．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.19．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面21．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程22．（10分）已知数列为正项等比数列，满足，，数列满足（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.2、C【解析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左边需增乘的代数式是故选：C【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键3、D【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D考点：利用导数研究函数的单调性.4、A【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；5、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C6、C【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是故选：C7、D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.【详解】故选：D.8、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C9、B【解析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.【详解】根据分层抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为故选：B.10、B【解析】根据交集的概念和运算直接得出结果.【详解】由题意知，.故选：B.11、C【解析】根据两直线平行求得的值，由此确定充分、必要条件.【详解】由于，所以，当时，两直线重合，不符合题意，所以.所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.故选：C12、D【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：14、【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值，，如图所示：由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.15、（1）众数；平均数，中位数.（2）.【解析】（1）按“众数，平均数，中位数”的公式求解.（2）由频率分布直方图得到各区间的频率，再用古典概型求解.【小问1详解】众数取频率分布直方图中最高矩形对应区间的中点75；平均数；因为，所以中位数在区间上，且中位数【小问2详解】由频率分布直方图得出在区间40，50）和90，100内的成绩样本数据分别有4个和2个，从6个样本选2个共有个结果，记事件A=“调查对象来自不同分组”，结果有所以.16、ABD【解析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；对于选项：设，则，且，又，，所以，，因此，解得，，故选项正确；对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，因为，所以，所以选项正确，故选：ABD三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明出平面，可得出，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明：在正三棱柱，平面，平面，则，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，则平面，平面，所以，，因为为等边三角形，故点为的中点.【小问2详解】解：因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，则，即，所以，，，，设点到平面的距离为，，，解得.因此，点到平面距离为.18、（1）；（2）或或.【解析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.19、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出，再由不等式的性质得出n的最小值.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意有解得，所以an=2n.【小问2详解】由（1）得，则，所以因为，即，解得n>99，所以n的最小值为100.20、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）证明和得到平面.（Ⅱ）根据相似得到证明平面.【详解】（Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且，∴三角形正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）连接交于点，连接.∵为的中点，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.21、（1）；（2）或【解析】（1）设方程为（，），即得解；（2）由题得，即得解.【详