广东省深圳南头中学2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题含解析

广东省深圳南头中学2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．曲线在点处的切线过点，则实数（）A. B.0C.1 D.23．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A.36个 B.30个C.25个 D.20个5．气象台正南方向的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（）A. B.C. D.6．已知向量，，且，则实数等于（）A1 B.2C. D.7．已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（）A B.C. D.8．曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B.C. D.19．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.10．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）A. B.C. D.11．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（）A.6 B.C. D.12．双曲线的两个焦点坐标是（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.14．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列15．设双曲线(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率16．如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程18．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值19．（12分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线．设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程21．（12分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）求证：为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.2、A【解析】由导数的几何意义得切线方程为，进而得.【详解】解：因为，，，所以，切线方程为，因为切线过点，所以，解得故选：A3、C【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【详解】因为>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选：C.4、C【解析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C5、D【解析】利用余弦定理进行求解即可.【详解】如图所示：设台风中心为，，小时后到达点处，即，当时，气象台所在地受到台风影响，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是，故选：D6、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C7、D【解析】根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设因为，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化简可得，③把③代入①可得：，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.8、B【解析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.【详解】设与平行的直线与相切，则切线斜率k=1，∵∴，由，得当时,即切点坐标为P(1,0)，则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，∴点(1,0)到直线的距离为：，∴曲线上的点到直线l:的距离的最小值为.故选：B9、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C10、B【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.【详解】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B11、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B12、C【解析】由双曲线标准方程可得到焦点所在轴及半焦距的长，进而得到两个焦点坐标.【详解】双曲线中，，则又双曲线焦点在y轴，故双曲线的两个焦点坐标是和故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：14、【解析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，所以.故答案为：15、e＝2.【解析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率【详解】由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题16、28【解析】设椭圆的另一个焦点为由椭圆的几何性质可知：，同理可得，且，故,故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程【小问1详解】由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：【小问2详解】由抛物线方程知：，设直线，，，，，联立方程，得：，，，以线段为直径的圆过点，，，解得：，直线的方程为：，即18、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；（2）过C作，垂足为M，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小问2详解】过C作，垂足为M，则四边形ADCM为矩形因为，，所以，，，，所以，所以因为平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE20、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】由焦点坐标可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，椭圆的方程为：；【小问2详解】由得：，，整理可得：；，解得：，，则，令，解得：；令，解得：；，即，又，，则的轨迹方程为：.【点睛】思路点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题基本思路是能够利用变量表示出所求点的坐标，根据坐标之间关系，化简整理消掉变量得到所求轨迹方程；易错点是忽略题目中的限制条件，轨迹中出现多余的点.21、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.【解析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论.（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小.（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱.【小问1详解】由棱台与棱锥的棱长和相等，∴，故.又截面底面ABC，则，，∴，从而，故为正四面体.【小问2详解】取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，从而是二面角的平面角.由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.由D是PA的中点，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小为.【小问3详解】存在满足条件的直四棱柱.棱台的棱长和为定值6，体积为V.设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为.因为正四面体的体积是，所以，，从而，故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件.22、（1）（2）或【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解