广东省深圳市龙岗区2023-2024学年数学高二上期末达标检测试题含解析

广东省深圳市龙岗区2023-2024学年数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.C. D.2．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）A.1 B.2C.4 D.63．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形4．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.5．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.6．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. B.C. D.7．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知曲线与直线总有公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.9．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.10．已知等差数列中，，则（）A.15 B.30C.45 D.6011．直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是（）A. B.C. D.12．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.14．命题，恒成立是假命题，则实数a取值范围是________________15．函数，其导函数为函数，则__________16．下列命题：①若，则；②“在中，若，则”逆命题是真命题；③命题“，”的否定是“，”；④“若，则”的否命题为“若，则”.则其中正确的是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线上点都在轴及其右侧，且曲线上的任一点到轴的距离比它到圆的圆心的距离小1（1）求曲线的方程；（2）已知过点的直线交曲线于点，若,求面积18．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.19．（12分）已知椭圆C：经过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由20．（12分）已知函数，为的导函数（1）求的定义域和导函数；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围21．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）22．（10分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.2、C【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解【详解】由，得，，又切线过点，曲线在点处的切线方程为，取，得，取，得的面积等于故选：C3、C【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.【详解】解：由题，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：C.4、A【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为8的正方形，，∴，，，因为,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：A.5、D【解析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，故选：D，6、B【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.7、C【解析】利用函数在上单调递减即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以若，，则；反之若，，则.所以若，则“”是“”的充要条件，故选：C.8、D【解析】对曲线化简可知曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线方程化简可得直线过定点，画出图形，由图可知，，然后求出直线的斜率即可【详解】由，得，因为，所以曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，由，得，所以，得，所以直线过定点，如图所示设曲线与轴的两个交点分别为，直线过定点，为曲线上一动点，根据图可知，若曲线与直线总有公共点，则，得，设直线为，则，解得，或，所以，所以，所以，故选：D9、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.10、D【解析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，则，所以.故选：D.11、A【解析】由两点坐标求出斜率，再得倾斜角【详解】由已知直线的斜率为，所以倾斜角为故选：A12、D【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】由椭圆的定义知，，则，因为正三角形，所以，在中，由余弦定理得，则，，故选：D【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，进而求出三棱柱的外接球的半径即可得出结果.【详解】因为，，所以，故，又因为平面BCD，因此三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，如图：取的中点，则为外接圆的圆心，取的中点，则为外接圆的圆心，则的中点即为外接球的球心，因此，,因此，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：.14、【解析】由命题为假命题可得命题为真命题，由此可求a范围.【详解】∵命题，恒成立是假命题，∴，，∴，，又函数在为减函数，∴，∴，∴实数a的取值范围是,故答案为：.15、【解析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.详解】∵，∴，∴.故答案为：.16、②③④【解析】根据不等式的性质，正弦定理与四种命题的概念，命题的否定，判断各命题【详解】①，满足，但，①错；②在中，由正弦定理，因此其逆命题也是真命题，②正确；③存在命题的否定是全称命题，命题“，”的否定是“，”，③正确；④由否命题的概念，“若，则”的否命题为“若，则”，④正确故答案为：②③④三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意直接列或根据抛物线的定义求轨迹方程（2）待定系数法设直线方程，联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义，利用韦达定理解出直线方程，再求面积【小问1详解】解法1：配方法可得圆的方程为，即圆的圆心为，设的坐标为，由已知可得，化简得，曲线的方程为解法2：配方可得圆的方程为，即圆的圆心为，由题意可得上任意一点到直线的距离等于该点到圆心的距离，由抛物线的定义可得知，点的轨迹为以点为焦点的抛物线，所以曲线的方程为【小问2详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由，可得的斜率存在，设为，，过的直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，的横坐标分别为，，可得，，由抛物线的定义可得，解得，即直线的方程为，可得到直线的距离为，，所以的面积为18、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得设，，，，则，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在点使得19、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用离心率和椭圆所过点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.【小问1详解】因为椭圆C：的离心率，且过点所以解得所以椭圆C的方程为【小问2详解】假设存在⊙O：满足题意，①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，消去y得，(*)设，，由题意知，(*)有两解所以，即由根与系数的关系可得，所以因为，所以，即化简得，且，O到直线l的距离所以，又，此时，所以满足题意所以存在圆的方程为⊙O：△AOB的面积，又因为当k≠0时当且仅当即时取等号又因为，所以，所以当k＝0时，②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点易知存在圆的方程为⊙O：且综上，所以【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.20、（1），（2）在单减，也单减，无增区间（3）【解析】（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.【小问1详解】解：的定义域为，；【小问2详解】解：当时，，恒成立，所以在和上递减；【小问3详解】解：若对，都有成立，即，即，令，，则，对于函数，，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，当时，，所以，所以，故恒成立，在为减函数，所以，所以，由（1）知，，所以，记，令，，则原式的值域为，因为存在，使成立，所以，，所以，综上，【点睛】本题考查了函数的定义域及导数的四则运算，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了计算能力及数据分析能力，对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以又点O到直线l的距离，所以，解得，即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂