广东省仲元中学2023-2024学年高二数学第一学期期末考试试题含解析

广东省仲元中学2023-2024学年高二数学第一学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，的面积为，则（）A. B.C. D.2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A.12 B.10C.8 D.63．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e4．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）A.1 B.2C.3 D.46．已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（）A. B.C.4 D.87．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()A. B.C. D.8．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b=238，则输出的a的值为（）A.17 B.34C.36 D.689．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，10．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（）A. B.C. D.11．过点且平行于直线的直线的方程为（）A. B.C. D.12．在等比数列中，，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的左焦点到直线的距离为________.14．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.15．正四棱柱中，，，点为底面四边形的中心，点在侧面四边形的边界及其内部运动，若，则线段长度的最大值为__________16．机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试，采用全国统一的考试科目内容及合格标准，包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试，考生应依次参加四项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考．据公安部门通报，佛山市四项考试的合格率依次为，，，，且各项考试是否通过互不影响，则一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点，.请用空间向量知识解答下列问题：（1）求线段的长；（2）若为线段上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点（1）求证：D1F平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.19．（12分）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，（1）用，，表示，并求；（2）求20．（12分）已知数列的前项和满足（1）证明：数列为等比数列；（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和21．（12分）某话剧表演小组由名学生组成，若从这名学生中任意选取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求该小组中男、女生各有多少人？（2）若这名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率.22．（10分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用面积公式，求出，进而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【详解】由面积公式得：，因为的面积为，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故选：C2、A【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，所以乙组数据的平均数为故选：A.3、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B4、D【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.【详解】由函数的图象可知：在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为：，故选：D.5、B【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为故选：B6、D【解析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，故抛物线方程为：.设直线，则，，而，当且仅当等号成立，故的最小值为8，故选：D.7、A【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.【详解】由题意得，即，由几何概型得，在定义域内任取一点，使的概率是.故选：A.8、B【解析】根据程序框图所示代入运行即可.【详解】初始输入：；第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；结束，输出34.故选：B.9、B【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意.故选：B10、C【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C11、B【解析】根据平行设直线方程，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为，将点代入直线方程得到，解得.故直线方程为：.故选：B.12、C【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.【详解】在等比数列中，由所以，又，所以所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，故可得，解得，故左焦点的坐标为，则其到直线的距离.故答案为：.14、【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，则，，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故答案为：【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.15、【解析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.【详解】当位于点时，因为是正方形，所以，由正四棱柱的性质可知，平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，平面，所以，因此当位于点时，满足题意，当点位于边点时，若，在矩形中，,因为，所以，因此，所以有，此时，又平面，所以平面，故点的轨迹在线段上，，所以线段长度的最大值为.故答案为：关键点睛：利用特殊点判断出点的轨迹是解题的关键.16、【解析】至多需要补考一次，分5种情况分别计算后再求和即可.【详解】不需要补考就通过的概率为；仅补考科目一就通过的概率为；仅补考科目二就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为，一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，则，，，则，解得，故.【小问2详解】解：，则，又、、，所以，，，设为平面的法向量，则，取，可得，显然，为平面的一个法向量，，因此，平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系.，，设平面的法向量为，则，故可设.由于，所以平面.（2）直线与平面所成角为，则.19、（1），（2）0【解析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，（2）先把用基底表示，然后化简求解【小问1详解】因为，，，,所以，因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以【小问2详解】因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可【小问1详解】当时，，，当时，，，，数列是以为首项、以为公比的等比数列【小问2详解】由（1）得，，即，，设等差数列的公差为，则，，，，，21、（1）男生人数为，女生人数为；（2）.【解析】（1）设男生的人数为，则女生人数为，且，根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设男生的人数为，则女生人数为，且，由已知可得，即，因为且，解得，所以，该小组中男生人数为，女生人数为.【小问2详解】解：若男生不相邻，则先将女生全排，然后在女生所形成的个空中选个空插入男生，因此，所有排法中男生不相邻的概率为.22、（1）时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单