河北省唐山市五校2023-2024学年数学高二上期末综合测试试题含解析

河北省唐山市五校2023-2024学年数学高二上期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线：和圆的位置关系是（）A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%3．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）A B.C. D.4．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.5．双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D8．已知椭圆的左右焦点分别为，，过C上的P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形是菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.9．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.3 B.1C.0 D.﹣110．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A B.C. D.11．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A. B.C. D.12．在各项都为正数的数列中，首项为数列的前项和，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______14．已知数列满足：，，，则______15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______16．椭圆x2+=1上的点到直线x+y-4=0的距离的最小值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆的一个顶点为，离心率（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程18．（12分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2（1）求图中a，b，c的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）；（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率19．（12分）已知数列的前n项和为满足（1）求证：是等比数列，并求数列通项公式；（2）若，数列的前项和为．求证：20．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.21．（12分）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4（1）求圆M的标准方程；（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标22．（10分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.（1）请写出函数表达式；（2）用求导的方法证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1∴圆心为（0，1），半径为1∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，故选C【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在2、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.3、C【解析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为，即故选：C.4、C【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；故选：C5、A【解析】直接求出，，进而求出渐近线方程.【详解】中，，，所以渐近线方程为，故.故选：A6、A【解析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以故选：A7、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.8、C【解析】根据题意求出P点坐标，代入椭圆方程中，可整理得到关于a,c的等式，进一步整理为关于e的方程，解得答案.【详解】如图示：由题意可知，因为四边形是菱形，所以，则，所以P点坐标为，将P点坐标为代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故选：C.9、C【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C10、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.11、A【解析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A12、C【解析】当时，，故可以得到，因为，进而得到，所以是等比数列，进而求出【详解】由，得，得，又数列各项均为正数，且，∴，∴，即∴数列是首项，公比的等比数列，其前项和，得，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.【详解】由点在圆C：内，且所以，又，解得过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为又，所以，解得故答案为：14、.【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】因为，，所以当时，有，因此有：，即，当时，适合上式，所以，故答案为：.15、【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.【详解】由题设，，又在R上的单调递增函数，∴恒成立，令，则，∴当时，则递减；当时，则递增.∴，故.故答案为：.16、【解析】设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,求出即得解.【详解】解：设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,所以，代入椭圆方程得，令或.当时，平行线间的距离为；当时，平行线间的距离为.所以最小距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）首先由椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，联立即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理得到线段的中点的坐标，再根据，即可求得的值，进而求得直线的方程【详解】（1）由一个顶点为，离心率，可得，，，解得，，即有椭圆方程为（2）由知点在线段的垂直平分线上，由，消去得，由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根设、，线段的中点，则，所以，所以，即，因为，所以直线的斜率为，由，得，所以，解得：，即有直线的方程为18、（1），，，均值为65.6（2）【解析】（1）根据a，b，c成等比数列且公比为2，得到a，b，c的关系，利用频率之和为1，求出a，b，c，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率.【小问1详解】由题意得，，，有，所以，即，解得，于是，评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为【小问2详解】评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个则所求的概率，即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为19、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得，结合数列的单调性可证得结论成立.【小问1详解】证明：当时，，解得，当时，由可得，上述两个等式作差得，所以，，则，因为，则，可得，，，以此类推，可知对任意的，，所以，，因此，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，，解得.【小问2详解】证明：，则，其中，所以，数列为单调递减数列，则，，，上式下式，得，所以，，因此，.20、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根据椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】（1）因为椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为，联立得，则△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以，，①当时，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取”=”.②当时，.③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，综上，|AB|的取值范围为，即：【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零21、（1）