河南省花洲实验高级中学2023-2024学年数学高二上期末考试试题含解析

河南省花洲实验高级中学2023-2024学年数学高二上期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.32．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为A. B.C. D.23．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（）A. B.C. D.4．若直线与直线垂直，则（）A6 B.4C. D.5．已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.76．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.167．已知数列的前项和为，当时，（）A.11 B.20C.33 D.358．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）A. B.C.2 D.9．二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.10．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（）A. B.C. D.11．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形12．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.14．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列进行构造，第次得到数列；第次得到数列；依次构造，第次得到数列；记，则(1)___________，(2)___________15．圆与圆的公共弦长为______16．若满足约束条件，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.18．（12分）如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.（1）求椭圆的方程和点的轨迹的方程；（2）若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.19．（12分）已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D（1）求椭圆M的标准方程；（2）设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值20．（12分）已知空间中三点，，，设，（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值21．（12分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由22．（10分）已知椭圆，焦点，A，B是上关于原点对称的两点，的周长的最小值为（1）求的方程；（2）直线FA与交于点M（异于点A），直线FB与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.2、A【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,将点代入方程,解得,故方程为:,两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,圆心到该直线的距离为,因此公共弦长为,故选:A.【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.3、C【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.4、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.5、A【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.【详解】由题意可得，，则，解得故选：A.6、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.7、B【解析】由数列的性质可得，计算可得到答案.【详解】由题意，.故答案为B.【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.8、A【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.【详解】设，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴离心率，故选：A.9、B【解析】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.【详解】因为二次方程的两根为2，，又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为或，故选：B10、C【解析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增,而，由可知，故作出函数大致图象如图：由图象易知，，故选：C.11、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.12、C【解析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减，，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.【详解】令可得，若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，此时与的图象没有交点，不符合题意；当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；当时，时，与的图象有一个交点，所以时与的图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，可得与的图象有两个不同的交点，令，则，由即可得，由即可得，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当时，，当时，可得与的图象有两个不同的交点，即时，函数有三个零点，所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14、①.②.【解析】根据题意得到，再利用叠加法求解即可.【详解】由题知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案为：；15、【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆与圆两式相减得，公共弦所在直线方程为：圆，圆心为到公共弦的距离为：公共弦长故答案为：16、5【解析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，直线中是直线的纵截距，代入得，即平移直线，当直线过点时取得最小值5故答案为：5三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是定值，定值为6【解析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程；（2）根据已知条件设出、所在直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.【小问1详解】由题意：，由知：，故椭圆C的标准方程为，【小问2详解】设：，①椭圆.②联立①②得：，，即∴，O到直线l的距离，∴，∴，即，∴.故为定值6.18、（1）椭圆的方程为，点的轨迹的方程为（2）【解析】（1）由题意可得，求出，再结合，求出，从而可得椭圆的方程，设，则由题意可得，坐标代入化简可得点的轨迹的方程，（2）由题意结合点到直线的距离公式可得，设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，由，可得，因为，代入化简计算可求得答案【小问1详解】由题意得，解得，则，所以椭圆的方程，设，则由题意可得，所以，所以，所以点轨迹的方程为【小问2详解】由（1）知曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，因为曲线上的动点到直线：的最大距离为，所以，得，设，由，得，所以，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【小问1详解】（1），，∴，，，∴；【小问2详解】设，，则，CF：联立∴，∴【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.20、（1）；（2）或.【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夹角余弦值为.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.21、（1）；（2）直线的斜率为定值，且定值为.【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.【小问1详解】由题意，则，又，所以椭圆C方程为，代入有，解得，所以，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题设易知：，法一：设直线为，由，消去y，整理得，因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，故M为，用代替k，得N为，所以，故直线的斜率为定值法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，则直线过点T，不合题意，所以．即，故直线的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得，则三角形的周长为，再设根据二次函数的性质得到，即可求出的周长的最小值为，从而得到，再根据，即可求出、，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN的方程，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线的方程、，直线的