黑河市重点中学2023-2024学年数学高二上期末预测试题含解析

黑河市重点中学2023-2024学年数学高二上期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表：订餐数/份122331送餐里程/里153045现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里2．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）A B.C. D.3．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.4．已知，，，其中，，，则（）A. B.C. D.5．椭圆离心率是（）A. B.C. D.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里7．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. B.5C. D.78．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B.C. D.10．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.11．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日12．在中，内角所对的边为，若，，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与平行，则实数________.14．如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______15．若向量，且夹角的余弦值为________16．已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.18．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.19．（12分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值20．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：（1）求的值；（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：纤维长度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等级二等品一等品特等品从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.21．（12分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.22．（10分）设正项数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得，即可得回归方程，进而估计时的y值即可.【详解】由题意：，，则，可得，故，当时，.故选：C2、C【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，，为等边三角形，则，即，因此，.故选：C.3、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.4、C【解析】先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得.【详解】由，则，同理，，令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，由图的对称性可知，.故选：C5、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.6、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B7、D【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D8、D【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.9、C【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.10、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.11、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C12、B【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得.故答案为：.14、8【解析】根据椭圆定义判断出轨迹，分析条件结合椭圆定义可知当直线x=m过右焦点时，三角形ADE周长最大.【详解】，到定点，的距离和等于常数，点轨迹C为椭圆，且故其方程为，则为左焦点，因为直线与C交于D，E，则，不妨设D在轴上方，E在轴下方，设椭圆右焦点为A'，连接DA'，EA'，因为DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周长，当时取得最大值8，故答案为：815、【解析】根据求解即可.【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间中两个向量的夹角，属于基础题.16、【解析】画出示意图，根据图形分析可知点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型可求出.【详解】作出示意图曲线是圆心为原点，半径为2的一个半圆.圆心到直线距离，而点到直线的距离为，故若点到直线的距离不大于，则点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是，证明见解析【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.【小问1详解】由，得，所以a2=9b2①，又椭圆过点，则②，由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】设直线MA的斜率为k，点，因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.联立直线MA与椭圆方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以为定值.18、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】1函数的定义域是R，，令，解得令，解得或，所以的单调递增区间为，单调减区间为和；2由在单调递减，在单调递增，所以，而，，故最大值是.19、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.（2）根据平均数的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花小问1详解】由解得【小问2详解】该样本数据的平均数为：【小问3详解】由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率21、（1），（2）答案见解析【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.【小问1详解】因为数列为等比数列，且，所以.又因，所以，又，则，故等差数列的通项公式为.【小问2详解】因为，，所以，而若选①因为在数列前30项内，不在