湖北武汉武昌区武汉大学附属中学2023年高二数学第一学期期末调研试题含解析

湖北武汉武昌区武汉大学附属中学2023年高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆与(0<k<9)的（）A.长轴的长相等B.短轴的长相等C.离心率相等D.焦距相等2．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）A.3 B.4C.5 D.63．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（）A. B.C. D.4．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.5．与向量平行，且经过点的直线方程为（）A. B.C. D.6．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A. B.C. D.7．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-108．下列语句为命题的是（）A. B.你们好！C.下雨了吗？ D.对顶角相等9．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.10．已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B.C.5 D.11．抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.12．已知命题P：，，则命题P的否定为（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．i为虚数单位，复数______14．函数在点处的切线方程是_________15．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.16．已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）圆心为的圆经过点,，且圆心在上，（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交圆于且，求直线的方程.18．（12分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，（1）证明：平面；（2）求直线平面所成的角的正弦值19．（12分）等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若满足数列为递增数列，求数列前项和20．（12分）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，实轴长为2.（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.21．（12分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？22．（10分）已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.【详解】椭圆与(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则显然只有D正确故选：D2、B【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：由题意得：是递增等比数列又，，故故选：B3、B【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.【详解】令公差为，则，解得，所以，当时，取最大值.故选：B4、C【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C5、A【解析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A6、C【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可【详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C7、C【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.【详解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，当时，，所以，当时，，所以，故选：C8、D【解析】根据命题的定义判断即可.【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D9、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.10、B【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.【详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得.故选：B.11、C【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解【详解】由，有，可得，抛物线的焦点坐标为故选：C12、B【解析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果【详解】命题：，，则命题的否定为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】故答案为：.14、【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，所以在点处切线方程是，即故答案为：.15、【解析】先求出，然后当时，由，得，两式相减可求出，再验证，从而可得数列为等比数列，进而可求出，再将问题转化为在上恒成立，所以，从而可求出实数的取值范围【详解】当时，，得，当时，由，得，两式相减得，得，满足此式，所以，因为，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以对于任意的，不等式恒成立，可转化为对于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查数列通项公的求法，等比数列求和公式的应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是求出数列的通项公式后求得，再将问题转化为在上恒成立求解即可，考查数学转化思想，属于较难题16、107【解析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.【详解】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.【点睛】本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出线段的垂直平分线方程，求出此直线与已知直线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆的标准方程；（2）检验直线斜率不存在时是否满足题意，在斜率存在时设方程为,求得圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长，由弦长为8得参数，得直线方程【详解】（1）由已知，中点坐标为，垂直平分线方程为则由解得，所以圆心,因此半径所以圆的标准方程（2）由可得圆心到直线的距离当直线斜率不存在时,其方程为，当直线斜率存在时,设其方程为,则，解得，此时其方程为，所以直线方程为或.【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长．求弦长方法是几何法：即求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理求得弦长．求直线方程时注意检验直线斜率不存在的情形18、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由已知条件可得，，则，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点作，交直线于点，连接，可证得平面，从而是与平面所成的角，然后在求解即可【详解】（1）证明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如图，过点作，交直线于点，连接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是与平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直线与平面所成的角的正弦值是【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点作，交直线于点，连接，然后结合条件可证得是与平面所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题19、（1）或（2）【解析】（1）利用等差数列通项公式，可构造方程组求得，由此可得通项公式；（2）由（1）可得，利用分组求和法，结合等差等比求和公式可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得：或，当时，；当时，.综上，或【小问2详解】由（1）当数列为递增数列，则，设，.20、（1）（2）【解析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.【小问1详解】双曲线离心率为，实轴长为2，，，解得，，，所求双曲线C的方程为；∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，∴双曲线焦点到渐近线的距离为.【小问2详解】设,,联立，，，，，，解得21、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，由题意得：，则