湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中2023年数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中2023年数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（）A. B.2C. D.2．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设内容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1个不能被5整除4．设为实数，则曲线：不可能是（）A.抛物线 B.双曲线C.圆 D.椭圆5．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.6．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)8．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.49．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.6410．已知，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.11．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.12．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.与均为的最大值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点.若，则双曲线的离心率为___________.14．设，向量，，，且，，则___________.15．已知的展开式中项的系数是，则正整数______________.16．经过点，的直线的倾斜角为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，数列的前n项和为，且对一切正整数n、点都在因数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前n项和，求证：18．（12分）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.19．（12分）分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴，短轴长为2，离心率为；（2）短轴一端点P与两焦点，连线所构成的三角形为等边三角形20．（12分）已知函数，.（1）若，求的最大值；（2）若，求证：有且只有一个零点.21．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m)在上恒成立.22．（10分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点（1）求曲线的方程；（2）求面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，因此，，所以矿石落点的最远处到点的距离为.故选：D2、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B3、B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考点：反证法4、A【解析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.【详解】解：对A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；对B：当时，曲线C为双曲线，故选项B错误；对C：当时，曲线C为圆，故选项C错误；对D：当且时，曲线C为椭圆，故选项D错误；故选：A.5、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A6、B【解析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案【详解】解：令，则，又不等式恒成立，所以，即，所以在单调递增，故，即，所以，故选：B7、D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数，所以在上递增，所以，即.故选：D8、A【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.9、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.10、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】依题意，，设平面的法向量，则，令，得，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为.故选：A11、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C12、C【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.【详解】由可得，由可得，故选项B正确；由可得，因为公差，故选项A正确，，所以，故选项C不正确；由于是等差数列，公差，，，，所以都是的最大值，故选项D正确；所以选项C不正确，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】按题意求得，两点坐标，以代数式表达出条件，即可得到关于的关系式，进而解得双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为,其渐近线为，垂线方程为，则，，，由，得，即即，则，离心率故答案为：14、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出【详解】解：设，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案为：15、4【解析】由已知二项式可得展开式通项为，根据已知条件有，即可求出值.详解】由题设，，∴，则且为正整数，解得.故答案为：4.16、【解析】根据两点间斜率公式得到斜率，再根据斜率确定倾斜角大小即可.【详解】根据两点间斜率公式得：，所以直线的倾斜角为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据数列中和的关系，即可解出；（2）利用裂项相消法求出，即可进一步汽车其范围.【小问1详解】由题知，当时，，当时，也满足上式，综上，；【小问2详解】，则，由，得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【小问1详解】（1）由题可设椭圆的方程为，由椭圆经过点，可得，解得或（舍）.所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知，设点，则，且，，，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.19、（1）（2）【解析】（1）设出椭圆方程，根据短轴长和离心率求出，，从而求出椭圆方程；（2）短轴端点与焦点相连所得的线段长即为，从而求出，得到椭圆方程.【小问1详解】设椭圆方程为，则，，则，解得:，则该椭圆的方程为【小问2详解】设椭圆方程为，由题得：，，则，则该椭圆的方程为20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用导数判断原函数单调性，从而可求最值.（2）求导后发现导数中无参数，故单调性与（1）中所求一致，然后利用零点存在定理结合的范围，以及函数单调性证明在定义域内有且只有一个零点.【小问1详解】若，则，其定义域为，∴，由，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴【小问2详解】证明：，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递诚，∵，∴当时，，故在上无零点；当时，，∵且，∴在上有且只有一个零点.综上，有且只有一个零点.21、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.【小问1详解】函数的定义域为，且，当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，当时，由，解得，由，解得，所以在上为减函数，在上为增函数，综上：当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数；【小问2详解】由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.当时，在上上为减函数，在上为增函数，所以，即，则，由，解得，由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，即在上恒成立.22、（1）（2）【解析】（1）由题意可得化简可得答案；（2）求出、方