人教版七年级上册数学4.3.3 余角和补角

1.用度、分、秒表示：

1.38°

50.675°2.用度表示：50°40′30″

1°22′48″

计算：（1）7°49′+4°28′（2）9°18′－6.5°已知∠AOB=32°36′，∠BOC=24°43′，求∠AOC？解：∠AOC=∠AOB+∠BOC

=

56°79′=

57°19′=32°36′+24°43′PAOB12∠1+∠2=90°观察下面图形，回答问题．（1）射线OP把直角AOB分成了几个角？（2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？2

如果两个角的和等于90°(直角)，那么称这两个角互为余角；简称两个角互余。一、余角定义也可以说其中一个角是另一个角的余角．∠α∠α的余角35°22°62°5′α27°55′55°68°90°－α练一练10°45°65°45°80°25°下面角中，哪些角互为余角？观察下面图形，回答以下问题．

（1）射线OP把平角MON，分成了几个角？（2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？∠1+∠2=180°2PMON12二、补角定义

如果两个角的和等于180°（平角），那么称这两个角互为补角；简称两个角互补。也可以说其中一个角是另一个角的补角．∠α∠α的补角10°32°15′90°105°108°23′α71°37′170°147°45′90°75°180°－α锐角的补角是钝角直角的补角是直角钝角补角是锐角图中给出的各角中,哪些互为补角?°°°°°°°

（1）图中互余的角是__________与___________．

（2）图中互补的角是__________与_______；_______与______．MPONQ∠MOQ∠QOP∠MOP∠PON∠MOQ∠QON练一练一个角的补角是这个角的余角的2.5倍，求这个角．解：设这个角为x°.180-x=2.5（90-x）180-x=225-2.5x2.5x-x=225-1801.5x=45x=30答：这个角是30°例题判断：

1．锐角的余角一定是锐角．（）

2．一个锐角和一个钝角一定互为补角．（）

3．一个角的补角比这个角的余角大90°．（）

4．一个角的补角一定比这个角大．（）√×√×练一练2．如果两个角互补，其中一个角是另一个角的3.5倍，则这个角分别是（）A．60°，210°B．20°，70°C．40°，140°D．30°，150°3．下列叙述正确的是（）A．180°是补角B．130°和50°互为补角C．130°和50°是补角D．40°是50°的补角CB4．（1）若∠α的补角与∠β的余角相等，求∠α，∠β的关系．解：因为180°－∠α＝90°－∠β，所以∠α－∠β＝90°．所以∠α＝∠β＋90°．答：∠α，∠β的关系为：∠α＝∠β＋90°．∵∠AOB＝90°，

∴∠1+∠BOD＝

90°∵∠COD＝

90°,

∴∠2＋∠BOD＝90°∴∠1＋∠BOD＝∠2+∠BOD，∴∠1＝∠2．答：∠1=∠2．∠AOB=90°，∠COD=90°则∠1与∠2有什么数量关系？AOBCD12答：∠1=∠2同角的余角相等．余角的性质1知识要点

如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？

答：∠2=∠４∵∠1与∠2互余，∴∠2=90°－∠1，∵∠3与∠4互余，∴∠4=90°－∠3．∵∠1＝∠３，∴90°－∠1＝90°－∠3

∴∠2＝∠4．余角的性质2等角的余角相等．知识要点同角或等角的余角相等．归纳

如图∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，那么∠1与∠3相等吗？为什么？∵∠1与∠2互补，∴∠1=180°－∠2；∵∠3与∠2互补，∴∠3=180°－∠2．∴∠1=∠3．

答：∠1=∠3补角的性质1同角的补角相等．知识要点答：∠1与∠3相等．解:∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1=180°－∠2；∵∠3＋∠4＝180°，∴∠3=180°－∠4；∵∠2＝∠4,∴180°－∠2=180°－∠4，∴∠1=∠3．

如图∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，如果∠2＝∠4，那么∠1与∠3有什么关系？为什么？补角的性质2等角的补角相等．知识要点同角或等角的补角相等．归纳互余互补对应图形数量关系性质12∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等21归纳例货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60º的方向上,在它北偏东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.O●东南西北●A60°40°BC10°45°D

例：下图中，OA是表示南偏西30º方向上的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的射线：（1）南偏东25º的射线OB；（2）北偏西50º的射线OC；（3）东北方向（即东偏北45º）的射线OD．A45°25°30°50°BCD西东南北O1．余角、补角的概念：2．余角、补角的性质：（1）和为90°的两个角称互为余角；（2）和为180°的两个角称互为补角．（1）等角的余角相等；（2）等角的补角相等．课堂小结射线OC与射线OA所成的角是多少度？射线OB与射线OD的所成的角是多少度？A45°25°30°50°BCD西东南北O100°110°1．6小时，12小时．2．略．3．（1）116°10′；（2）106°25′．4．如果∠1＝∠2,∠2＝∠3,则∠1＝∠3；如果∠1>∠2,∠2>∠3,则∠1>∠3．5．∠ABC＝∠ACB＝62°．6．（1）∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；（2）∠AOC＋∠COD＝∠AOD；（3）∠BOD－∠COD＝∠BOC；（4）∠AOD－∠BOD＝∠AOB．习题答案7．延长AO或BO，先测量∠AOB的补角，然后计算出∠AOB的大小．8．10°与80°、30°与60°互为余角，10°与

170°、30°与150°、60°与120°、80°与

100°与为补角．9．如图．北北偏东15°东南偏东60°南西南方向西北偏西30°10．（1）∠BOD＝70°；（2）∠AOB＝40°．11．齿轮有15个齿，相邻两齿中心线的夹角是

24°，如果是22个齿轮，这个夹角约为

16°22′．12．如图．60°30°ABC船的位置13．（1）45°；（2）90°．14．另外一个角等于135°,四边形的内角和等于360°．15．（1）这些和都等于360°；（2）这些和等于360°，猜想：多边形外角和等于360°．有理数的混合运算旧识回顾1、计算：（1）（2）（3）2、计算：（1）（2）小学时加减乘除混合运算顺序是？先乘除后加减，有括号时先算括号里面的。同级的运算要从左至右。1、计算：（1）（2）2、计算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你认为下面的解法正确吗？若不正确，你能发现下面解法问题出在哪里吗？正确的解法为：加减乘除混合运算法则

1.先算乘除；2.再算加减；3.有括号时先算括号（先小括号，再中括号，最后是大括号）4.同级运算，按照从左到右.注：对于混合运算中有除法时，可以运用除法法则2先将除法变为乘法；可以适当运用运算律使计算简便。4、计算：练习思维拓展计算下列各式：有理数的混合运算2在算式中，含有加、减、乘除及其乘方等多种运算，这样的运算叫做有理数的混合运算.怎样进行有理数的运算呢？按什么运算顺序进行呢？通常把六种基本的代数运算分成三级．加与减是第一级运算，乘与除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算．运算顺序的规定详细地讲是：先算高级运算，再算低级的运算；同级运算在一起，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号．

简单地说，有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；

如果有括号，就先算括号里面的．例1（1）2÷﹙½－2﹚与2÷½－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚与﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：计算下列各题：（1）分析：算式里含有乘方和乘除运算，所以应先算乘方，再算乘除。解：原式

点评：在乘除运算中，一般把小数化成分数，以便约分。（2）分析：此题是含有乘方、乘、除、加减法的混合运算，可将算式分成两段。“-”号前边的部分为第一段，“-”号后边的部分为第二段，运算时，第一步，应将第一段的除法变为乘法和计算第二段中的乘方；第二步，计算乘法；第三步，计算加减法，得出最后结果。解：原式===（3）

分析：此题应先算乘方，再算加减。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括号里面的再算括号外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括号里面的加减法，再算括号外面的除法。解法1：原式

7思路2：先将除法化为乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7点评：解法2比解法1简单，是因为在解法2中根据题目特点,使用了乘法分配律。在有理数的混合运算中，恰当、合理地使用运算律,可以使运算简捷,从而减少错误，提高运算的正确率。

例2

计算下列各题：（1）

分析：中括号中各加数化成带分数后，其分子都是4的倍数，所以本题先把除法化乘法后，用乘法分配律简单。

（2） 先算乘方和把除法变乘法： 原式= 观察式子特点发现，小括号内各分数的分子都是10的因数，从而想到将小括号和因数用结合律和分配律：

原式====（3）解：原式======点评：本题中逆用乘法分配律提取，使运算简便。（4）[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

分析：在本题中53可以看做5×52，(-5)2=52,对于 53-4×(-5)2可变形5×52-4×52，然后运用乘法 分配律．-24与24是互为相反数，所以-24+24=0.

解：[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

=[5×52-4×52-1]÷(-24+24-24)

=[52(5-4)-1]÷(-24)

=(25×1-1)÷(-24)

=24÷(-24)

=

-1.

注意：①53=5×52;②5×52-4×52

=52(5-4)(运用乘法分配律)

=25×1

=25.以上主要学习了有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．进行有理数混合运算的关键是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序，比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段．计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的．同时，要注意灵活运用运算律简化运算。

有理数的混合运算旧识回顾1、计算：（1）（2）（3）2、计算：（1）（2）小学时加减乘除混合运算顺序是？先乘除后加减，有括号时先算括号里面的。同级的运算要从左至右。1、计算：（1）（2）2、计算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你认为下面的解法正确吗？若不正确，你能发现下面解法问题出在哪里吗？正确的解法为：加减乘除混合运算法则

1.先算乘除；2.再算加减；3.有括号时先算括号（先小括号，再中括号，最后是大括号）4.同级运算，按照从左到右.注：对于混合运算中有除法时，可以运用除法法则2先将除法变为乘法；可以适当运用运算律使计算简便。4、计算：练习思维拓展计算下列各式：有理数的混合运算2在算式中，含有加、减、乘除及其乘方等多种运算，这样的运算叫做有理数的混合运算.怎样进行有理数的运算呢？按什么运算顺序进行呢？通常把六种基本的代数运算分成三级．加与减是第一级运算，乘与除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算．运算顺序的规定详细地讲是：先算高级运算，再算低级的运算；同级运算在一起，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号．

简单地说，有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；

如果有括号，就先算括号里面的．例1（1）2÷﹙½－2﹚与2÷½－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚与﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：计算下列各题：（1）分析：算式里含有乘方和乘除运算，所以应先算乘方，再算乘除。解：原式

点评：在乘除运算中，一般把小数化成分数，以便约分。（2）分析：此题是含有乘方、乘、除、加减法的混合运算，可将算式分成两段。“-”号前边的部分为第一段，“-”号后边的部分为第二段，运算时，第一步，应将第一段的除法变为乘法和计算第二段中的乘方；第二步，计算乘法；第三步，计算加减法，得出最后结果。解：原式===（3）

分析：此题应先算乘方，再算加减。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括号里面的再算括号外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括号里面的加减法，再算括号外面的除法。解法1：原式

7思路2：先将除法化为乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7点评：解法2比解法1简单，是因为在解法2中根据题目特点,使用了乘法分配律。在有理数的混合运算中，恰当、合理地使用运算律,可以使运算简捷,从而减少错误，提高运算的正确率。

例2

计算下列各题：（1）

分析：中括号中各加数化成带分数后，其分子都是4的倍数，