2022年天津南开中学高三数学文摸底试卷含解析

2022年天津南开中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某企业从2005年初贷款M万元，年利率为m，从该年末开始，每年偿还的金额都是万元，并计划恰好在10年内还清，则=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C2.已知是非空集合，命题甲：，命题乙：，那么

（

）A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件参考答案：B3.设函数则的递增区间为(

)

A

B

C

D参考答案：B略4.命题P：若x,y∈R.则｜x｜+｜y｜＞1是｜x+y｜>1的充分而不必要条件；

命题q

：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则A.“pVq”为假

B.“pq”为真

C.“”为真

D.“”为真参考答案：D5.若满足约束条件，则的最大值等于（

）A．7

B．6

C．5

D．4参考答案：B作可行域，则直线过点(2,0)时z取最大值6.

6.已知，则Mar的值是(A)2

(B)-2

(C)3

(D)-3参考答案：A略7.“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略8.点、、、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，，则点与中心的距离为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】点线面的位置关系因为设中心为D,计算可得，

设S在平面射影为H,则可得,可求得为所求。

所以，

故答案为：B9.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为A．

B．

C．

D．参考答案：A10.地球北纬圈上有A、B两点，点A在东经处，点B在西经处，若地球半径为R，则A、B两地在纬度圈上的劣弧长与A、B两地的球面距离之比为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元．参考答案：1200【考点】一次函数的性质与图象．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题．12.已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．参考答案：﹣；﹣。考点： 两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题： 三角函数的求值．分析： 利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．解答： 解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．点评： 本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题．13.已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时__________，面积最大时，__________．参考答案：2

1或714.设函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≥﹣1【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，∴﹣a≤1，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．15.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线与圆于A，B，C，D四点，则|AB|．|CD|=________参考答案：416.锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于

．参考答案：【知识点】正弦定理；解三角方程。C8【答案解析】

解析：由正弦定理得，可化为，又，所以，又为锐角三角形，得.【思路点拨】先由正弦定理转化成角与角的关系即可解得A.17.已知，，如果与的夹角为直角，则

．参考答案：∵，，且与的夹角为直角，∴，解得：∴，∴故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.参考答案：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：.

……2分

……4分

……5分或者：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数.易知

……2分则……5分

（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5

……6分，

，

……10分∴随机变量X的分布列为：X2345P

……11分∴随机变量X的期望为：

……12分19.设数列的前项和为，满足，且。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，

都有：参考答案：解：（Ⅰ）∵∴

（Ⅱ）由得检验知，满足∴变形可得∴数列是以1为首项，1为公差的等差

解得（Ⅲ）由（Ⅱ）知代入得=∵∴∴∴即∴

∴略20.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，求函数的极小值；参考答案：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；∴，

∵，∴，

∴时函数的最小值为，∴

（Ⅱ）

当时，

令得，解得或（舍），即

当时，，当时，∴的极小值为21.（本小题满分12分）命题p：关于x的不等式，对一切恒成立；命题q：函是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．参考答案：p为真：△=4-16<0

-2<<2

------------2分q为真：3-2>1

<1

------------4分

因为p或q为真，p且q为假

p,q一真一假

------------6分当p真q假时，

1≤

------------8分当p假q真时，

------------10分的取值范围为

------------12分22.（13分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求三棱锥A-A1CB的体积；（Ⅲ）求二面角A1-CB-A的正切值.

参考答案：

解析：方法1：

（Ⅰ）解：在三棱柱中C1B1∥CB，平面且平面则∥平面.……3分（Ⅱ）解：因为==×1×(1×1×sin120°)=.…………6分（Ⅲ）解:在平面ABC内过点A向BC做垂线AD，交BC延长线于点D，连结A1D.因为A1A⊥平面ABC，所以A1D⊥BD.所以∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角.容易求出AD=，所以tan∠A1DA===.即二面角A1-CB-A的正切值是………………13分方法2：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(-，，0)，B1(-，，1)，C1(0，0，1).

（