湖南省百所重点高中2024届高二上数学期末复习检测试题含解析

湖南省百所重点高中2024届高二上数学期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.2．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.3．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.4．“，”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．在四面体中，为的中点，为棱上的点，且，则（）A. B.C. D.8．执行下图所示的程序框图，则输出的值为（）A.5 B.6C.7 D.89．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.510．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（）A.与互为对立事件 B.与互斥C.与相等 D.11．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.12．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______14．已知为抛物线上的动点，，，则的最小值为________.15．已知函数，则的导函数______.16．不等式的解集是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的值；（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.19．（12分）在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面积20．（12分）已知函数（1）判断的零点个数；（2）若对任意恒成立，求的取值范围21．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.22．（10分）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.【详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.2、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.3、A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由到渐近线的距离为，所以，又，所以，因为，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：A.4、A【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；反之，若表示双曲线，则，即，或，所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A5、A【解析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可.【详解】解：由题得对任意恒成立，(当且仅当时等号成立)所以故选：A6、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系7、A【解析】利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.【详解】如图故选：A8、C【解析】直接按照程序框图运行即可得正确答案.【详解】当时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，成立，输出的值为，故选：C.9、B【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.【详解】初始值：，当时，，进入循环；当时，，进入循环；当时，，终止循环，输出的值为3.故选：B10、D【解析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，所以与不互斥，也不对立，也不相等，，所以ABC错误，D正确，故选：D11、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B12、B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围【详解】函数的定义域为，，令，解得或，若函数有2个极值点，则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，而，令，令或，故在和上单调递减，在上单调递增，又，如图所示，由图可得.故答案为：14、6【解析】根据抛物线的定义把的长转化为到准线的距离为，进而数形结合求出最小值.【详解】易知为抛物线的焦点，设到准线的距离为，则，而的最小值为到准线的距离，故的最小值为.故答案为：615、【解析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【详解】函数定义域为，则，所以.故答案为：16、【解析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集【详解】不等式得，故，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）对函数求导，利用得的值；（2）讨论和分离参数，构造新函数求解最值即可求解【详解】解：（1），又由题意有（2）由（1）知，此时，由或，所以函数的单调减区间为和要恒成立，即①当时，，则要恒成立，令，再令，所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，；②当时，lnx>0，则要恒成立，由①可知，当时，，所以内递增，所以当时，，故，所以在内递增，综合①②可得，即存在常数满足题意18、（1）动点的轨迹的方程为；（2）的取值范围.【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.【小问1详解】由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；【小问2详解】故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故19、（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】，由正弦定理知，，即又，且．所以，由于．所以；【小问2详解】由余弦定理得：，又，所以所以.20、（1）个；（2）.【解析】（1）求，利用导数判断的单调性，结合单调性以及零点存在性定理即可求解；（2）由题意可得对任意恒成立，令，则，利用导数求的最小值即可求解.【小问1详解】的定义域为，由可得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，，此时在上无零点，当时，，，，且在上单调递增，由零点存在定理可得在区间上存在个零点，综上所述有个零点.【小问2详解】由题意可得：对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，由可得：，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围.21、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出，再由不等式的性质得出n的最小值.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意有解得，所以an=2n.【小问2详解】由（1）得，则，所以因为，即，解得n>99，所以n的最小值为100.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由三角形的边角关系可证，再由底面，可得.即可证明底面，由面面垂直的判定定理得证.（2）以点为坐标原点，，