吉林省长春市第十九中学2023-2024学年高二数学第一学期期末检测试题含解析

吉林省长春市第十九中学2023-2024学年高二数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（）A. B.C. D.2．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.63．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.4．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”5．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）A.0 B.C. D.6．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.7．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.8．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（）A.5 B.C. D.9．已知等差数列的前项和为，若，则（）A B.C. D.10．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（）A. B.C. D.12．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知A，B为x，y正半轴上的动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.14．已知为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点在双曲线上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.15．已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,直线经过抛物线C的焦点F,则___________16．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若关于的方程恰有两个不等实根，求实数的取值范围18．（12分）已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.（1）求，的方程；（2）求证：直线和的斜率之积为定值；（3）求证：为定值.19．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.图1图2（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.20．（12分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合A（1）求m的值；（2）当时，的值域为集合B，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由22．（10分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答.【详解】设平面的法向量为，则，令，得，令平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为.故选：A2、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.3、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.4、A【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A5、D【解析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离.故选：D.6、C【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为，将坐标代入得:,解得，故圆的方程为，故选：C.7、A【解析】方程化为圆锥曲线（椭圆与双曲线）标准方程的形式，然后由方程表示双曲线可得不等关系【详解】解：方程可化为，它表示双曲线，则，解得.故选：A8、C【解析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C9、B【解析】利用等差数列的性质可求得的值，再结合等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.【详解】由等差数列的性质可得，则，故.故选：B.10、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.11、D【解析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，，则.故选：D12、A【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，因为，故、、三点共线，设、，易知点，，，由题意可知，，可得，若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，得，，则，可得，故，因此，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出，利用三角函数换元，求出最大值.【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，设，（），则由三角形全等可知，设，，则，则，，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为32故答案为：3214、##【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，所以，四边形为矩形，设点，则，不妨设点为直线上的点，则，，所以，.故答案为：.15、64【解析】用字母进行一般化研究,先求出切点弦方程,再联立化简,最后代入数据计算【详解】设,点处的切线方程为联立,得由,得即,解得所以点处的切线方程为,整理得同理,点处的切线方程为设为两切线的交点,则所以在直线上即直线AB的方程为又直线AB经过焦点所以,即联立得所以所以本题中所以故答案为:64【点睛】结论点睛:过点作抛物线的两条切线,切点弦的方程为16、【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.详解】由直线和互相平行，得，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）求出导数，令，得出变化情况表，即可得出单调区间；（2）分离参数得，构造函数，利用导数讨论单调性，根据与恰有两个不同交点即可得出.【详解】（1）当时，函数，则令，得，，当x变化时，的变化情况如下表:1+00+↗极大值↘极小值↗∴在上单调递减（2）依题意，即．则令，则当时，，故单调递增，且；当时，，故单调递减，且∴函数在处取得最大值故要使与恰有两个不同的交点，只需∴实数a的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求参数，解题的关键是参数分离，构造函数利用导数讨论单调性，根据函数交点个数判断.18、（1）：；：（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线的方程，再求曲线的方程；（2）首先设，表示直线和的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线与方程联立消，利用韦达定理表示弦长，以及利用直线和的斜率关系，表示弦长，并证明为定值.【小问1详解】由题设知，椭圆离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：∴的离心率为解得.∴：：；【小问2详解】证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则同理∴.19、（1）（2）不存在，理由见解析【解析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.【小问1详解】∵，E为BD的中点∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如图以E原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，设平面的法向量为=(x，y，z)，则，取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，则取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，∴设平面ABD与平面的夹角为θ，则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一个法向量由∥，得，此方程无解.∴线段AD上不存点M，使得平面.20、（1）（2）【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小问1详解】解：因为幂函数在上单调递减，所以，解得.【小问2详解】由，得，解得，所以，当时的值域为，所以，因为是成立的充分不必要条件，所以是A的真子集，，解得.21、（1）（2）存在，定点【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.小问1详解】，，由题可得：.【小问2详解】当直线AB的