湖北省荆州市黄歇口镇大兴职业高级中学高三数学文期末试卷含解析

湖北省荆州市黄歇口镇大兴职业高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，与的夹角为．若向量满足，则的最大值是

A．

B．

C．4

D．参考答案：B2.如图，阴影部分的面积是（）A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x﹣）|=；故选C．【点评】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．3.某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机抽样法参考答案：C按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C

4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（

）尺.

图1(A)5.45

(B)4.55

(C)4.2

(D)5.8参考答案：B如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺），

，

所以，解得

，因此，解得

，故折断后的竹干高为4.55尺，∴选B.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走了（

）A．60里

B．48里

C．36里

D．24里 参考答案：D6.集合P={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即P=（﹣1，3），∵Q={﹣1，0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}，故选：A．7.已知奇函数f（x）满足f（－1）＝f（3）＝0，在区间[－2，0）上是减函数，在区间[2，＋∞）是增函数，函数F（x）＝，则的解集是A．{x｜x＜－3，或0<x<2，或x>3}

B．{x｜x<－3，或－1<x<0，或0<x<1，或x>3}C．{x｜－3<x＜－1，或1<x＜3}

D．{x｜x＜－3，或0<x＜1，或1<x＜2，或2<x＜3}参考答案：C8.已知二项式展开式中，常数项为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C9.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.用数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的代数式是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，D为BC的中点，，，，点P与点B在直线AC的异侧，且，则平面四边形ADCP的面积的最大值为_____．参考答案：分析：首先判断出点P所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P到AC距离最大，之后再转化为点B到AC的距离最小，综合得到BP和AC垂直时即为所求，从而求得结果.详解：根据题意可以求得，所以，则点到边的距离为，因为点与点在直线的异侧，且，所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，只有当点到线距离最大时，满足面积最大，此时就是到线距离最小时，此时到线距离为，此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，.点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B到AC距离最短时即为所求，从而得到此时BP和AC垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.12.函数的图像的一条对称轴为,则以为方向向量的直线的倾斜角为

参考答案：略13.椭圆的左顶点为，左右焦点分别为，且点分的比为，则该椭圆的离心率为

参考答案：略14.若指数函数在其定义域内是减函数，则a的取值范围是_______j参考答案：

【知识点】指数函数的图像与性质．B6解析：∵y=（a2﹣1）x在定义域内是减函数，∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2，解得1＜a＜或＜a＜﹣1，故答案为：．【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论．15.在等差数列{an}中，已知，则数列的前10项和是 .参考答案：，则；，则，所以首项，，所以，，，所以，所以，所以.

16.向量，，，则向量与的夹角为

．参考答案：17.设函数其中.①当时，若，则__________；②若在上是单调递增函数，则的取值范围________.参考答案：1,

【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】①当时，若x<1，则无实数解；

若则

②若在上是单调递增函数，

则即

令

所以g(a)在单调递增，且

所以的解为：

故的取值范围是：。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为.试就方程组解答下列问题：（Ⅰ）求方程组没有解的概率；（Ⅱ）求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率.参考答案：（Ⅰ）由题意知，总的样本空间有组

……1分方法1：若方程没有解，则，即

……3分（方法2：带入消元得，因为，所以当时方程组无解）所以符合条件的数组为，

……4分所以，故方程组没有解的概率为

……5分（Ⅱ）由方程组得

……6分若，则有

即符合条件的数组有共有个

……8分若，则有

即符合条件的数组有共个

……10分∴所以概率为，即以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为.

……12分19.（本题满分12分）已知为坐标原点,点（是常数），且，（Ⅰ）求关于的函数关系式；（Ⅱ）若时，的最大值为求的值，并说明此时的图像可由的图象经过怎样的变换而得到。参考答案：⑴依题意得：（是常数）⑵若则此时故的图象可由的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，得到的图象；再将的图象上的点横坐标不变，纵坐标向上平移2个单位长度得到。20.(14分)已知的三个内角所对的边分别为,且.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)现给出三个条件：①；②；③.试从中选择两个条件求的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分).参考答案：解析:(Ⅰ)由,得,所以……………(4分)则,所以……(7分)

(Ⅱ)方案一：选择①③.∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，则根据余弦定理，得，解得b=,则c=……(11分)∴……………(14分)方案二：选择②③.可转化为选择①③解决,类似给分.(注：选择①②不能确定三角形)21.已知直线与抛物线交于、两点（为抛物线的焦点，为坐标原点），若，求的垂直平分线的方程.参考答案：解：的方程为：.由

得，所以，由，可求得.所以，中点.所以的垂直平分线的方程为：.略22.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g