江西省九江一中2023-2024学年数学高二上期末统考试题含解析

江西省九江一中2023-2024学年数学高二上期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.2．已知命题p：，总有，则为（）A.，使得 B.，使得C.，总有 D.，总有3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A. B.C.或 D.或4．已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.35．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人6．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）A.3 B.4C.6 D.87．若直线与直线垂直，则（）A6 B.4C. D.8．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A. B.C. D.9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）.A.函数在上是增函数B.C.D.是函数的极小值点10．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（）A. B.C. D.11．已知公差为的等差数列满足，则（）A B.C. D.12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则A. B.2C.3 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是递增等比数列，，则数列的前项和等于.14．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则问题得到解决的概率是________.15．已知数列满足：，，，则______16．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在处的切线与直线平行（1）求值，并求此切线方程；（2）证明：18．（12分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值19．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值20．（12分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且（1）求椭圆C的离心率；（2）求直线l的方程21．（12分）在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训88未参加赛会应急救援培训430（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.22．（10分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意，，结合，求解即可【详解】∵椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在椭圆e＞0∴e=故选：A2、B【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p：，总有是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，使得，故选：B3、D【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选：D﹒4、C【解析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率【详解】根据题意得到设，因为，所以，所以，则故选：C.5、C【解析】根据频率计算出正确答案.【详解】一句也说不出的学生频率为，所以估计名学生中，一句也说不出的有人.故选：C6、D【解析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果【详解】设，，则的中点到轴的距离为，则故选：D7、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.8、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A9、B【解析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.【详解】解：根据函数的导函数的图象，可得或时，，当或时，，所以函数在和上递减，在和上递增，故A错误；，故B正确；，故C错误；是函数的极大值点，故D错误.故选：B.10、C【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.【详解】因为，在直线l上，所以直线l的一个方向向量为.故选：C.11、C【解析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.【详解】∵数列是公差为的等差数列，∴，∴.故选：C12、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.14、【解析】分甲解决乙不能解决，甲不能解决乙能解决，甲能解决乙也能解决三类，利用独立事件的概率求解.【详解】因为甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，所以问题得到解决的概率是，故答案为：15、.【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】因为，，所以当时，有，因此有：，即，当时，适合上式，所以，故答案为：.16、【解析】求解定义域，由导函数小于0得到递减区间，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】显然，且，由，以及考虑定义域x>0，解得:.在区间，上单调递减，∴，解得:.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，在处的切线与直线平行，即切线斜率为，，解得：，，，所求切线方程为：，即；【小问2详解】要证，即证；①当时，，，，即，；②当时，令，，，当时，，，，，即，在上单调递增，，在上单调递增，，即在上恒成立；综上所述：.【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.18、（1）1（2）【解析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【小问1详解】将代入抛物线，解得：.【小问2详解】，在抛物线C上，故，，解得：或2，因为，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.19、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.20、（1）（2）或【解析】（1）将椭圆化为标准方程，求得，进而求得离心率；（2）设直线，，，与椭圆联立，借助韦达定理及弦长公式求得，从而求得直线方程.【小问1详解】由题知，椭圆C：，则，离心率【小问2详解】设直线，，联立，化简得，则，解得，，由弦长公式知，，解得，故直线或21、（1）；（2）.【解析】（1）根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从而求得概率；（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，列出其一切可能的结果，从而求得被选中且未被选中的概率.【详解】解：由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有人.从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，，，共15个，根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“被选中且未被选中”