三次函数切线专题

./三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点P为三次函数图象上任一点,则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心,则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心,则过点P有两条不同的切线。证明设过点P的切线可以分为两类。1、P为切点,切线方程为：P不是切点,过P点作图象的切线,切于另一点Q〔又〔1即代入〔1式得讨论：当时,,得,当时,两切线重合,所以过点P有且只有一条切线。当时,,所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为：由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线,切于另一点,过作图象的切线切于,如此继续,得到点列,则,且当时,点趋近三次函数图象的对称中心。证明：设过与图象切于点的切线为,又=即设则数列是公比为的等比数列,即。〔2过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外,则过点一定有直线与图象相切。〔1若则过点恰有一条切线；〔2若且,则过点恰有一条切线；〔3若且=0,则过点有两条不同的切线；〔4若且,则过点有三条不同的切线。其中证明设过点作直线与图象相切于点则切线方程为把点代入得：,设令则因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次,即在上为单调函数或两极值同号,所以或且时,过点恰有一条切线。有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点,所以且=0时,过点有两条不同的切线。有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点,即有一个极大值,一个极小值,且两极值异号。所以且时,过点有三条不同的切线。例题讲解：例1、已知函数,求过点的切线方程。例2、〔2010文数设函数,其中a＞0,曲线在点P〔0,处的切线方程为y=1〔Ⅰ确定b、c的值。〔Ⅱ设曲线在点〔及〔处的切线都过点〔0,2证明：当时,〔Ⅲ若过点〔0,2可作曲线的三条不同切线,求a的取值围。例3、已知函数,且<1>试用含的代数式表示b,并求的单调区间；〔2令,设函数在处取得极值,记点M<,>,N<,>,P<>,,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题：〔I若对任意的m<,x>,线段MP与曲线f<x>均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论；〔II若存在点Q<n,f<n>>,xn<m,使得线段PQ与曲线f<x>有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值围〔不必给出求解过程三次函数切线作业1、曲线在点处的切线方程是。2、已知曲线C：,则经过点的曲线C的切线方程是。3、已知曲线C：的一条切线方程为,则实数的值等于。4、已知函数在处取得极值。〔Ⅰ求函数f<x>的解析式；〔Ⅱ求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值,都有；〔Ⅲ若过点A〔1,m〔m≠－2可作曲线y=f<x>的三条切线,数m的取值围.5、已知函数．与的图象都过点P<2,0>,且在点P处有公共切线．<1>求f<x>和g<x>的表达式及在点P处的公切线方程；<2>设,其中,求F<x>的单调区间．三次函数切线问题参考答案例1、解：,若A是切点,则切线方程为若A不是切点,设切点为,则切线方程为,将代入得,所以切点为,则切线方程为。小结：求切线方程步骤,先判断点是否在曲线上,如不在曲线上,则参照第二小步设切点坐标,若在曲线上,讨论已知点是否为切点,若为切点,由导数可直接求得斜率。例2、例3、解法一:<Ⅰ>依题意,得由.从而令①当a>1时,当x变化时,与的变化情况如下表：x+－+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为。②当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R③当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为综上：当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为；当时,函数的单调增区间为R；当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.<Ⅱ>由得令得由〔1得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M〔N〔。观察的图象,有如下现象：①当m从-1〔不含-1变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；③Kmp－=0对应的位置可能是临界点,故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp－=0时,解得直线MP的方程为令当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。当时,.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上,t的最小值为2.〔2类似〔1于中的观察,可得m的取值围为解法二：〔1同解法一.〔2由得,令,得由〔1得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M<>.N<><Ⅰ>直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在<－1,m>上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此,在上有零点等价于在恰有一个极大值点和一个极小值点,即有两不相等的实数根.等价于即又因为,所以m的取值围为<2,3>从而满足题设条件的r的最小值为2.作业：1、解：由,得,所以所求的切线方程为,即。2、错解：由,得,所以所求的切线方程为,即。错因剖析：此处所求的切线只说经过P点,而没说P点一定是切点,于是切线的斜率与不一定相等。正解：设经过点P〔1,2的直线与曲线C相切于点,则由,得在点处的斜率,有在点处的切线的方程为。又因为点与点P〔1,2均在曲线C上,有,消去得,解得或,于是或,所以所求切线方程为或。3、设切点坐标为,则,又,得或2。再消去得,于是得或4。4、〔I,依题意,即…………2分解得a=1,b=0.∴……………………4分〔II∵∴,当－1<x<1时,f′<x><0,故f<x>在区间[－1,1]上为减函数,……6分∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值,……8分〔IIIf′<x>=3x2－3=3<x+1><x－1>,∵曲线方程为y=x3－3x,∴点A〔1,m不在曲线上.设切点为M〔x0,y0,则点M的坐标满足因,故切线的斜率为,整理得.∵过点A〔1,m可作曲线的三条切线,∴关于x0方程=0有三个实根.……10分设g<x0>=,则g′<x0>=6,由g′<x0>=0,得x0=0或x0=1.∴g<x0>在〔－∞,0,〔1,+∞上单调递增,在〔0,1上单调递减.∴函数g<x0>=的极值点为x0=0,x0=1………………12分∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是,解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值围是－3<m<－2.……14分5、解：<1>∵过点∴a=-8