课件ch4 4双线性变换法

数字信号处理

(DigitalSignalProcessing)

IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟域频率变换脉冲响应不变法双线性变换法利用MATLAB设计IIRDFIIR数字滤波器的设计

问题的提出双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤双线性变换法问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换变换原理

脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如下图所示。双线性变换法的基本原理图

双线性变换的映射关系

第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化双线性变换法的映射规则：

（1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。

（2）数字化：将S1平面通过标准变换关系

变换到z平面。（1）频率压缩把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。（2）数字化将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。这时S平面与Z平面之间为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。变换常数c的选择调节c，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。（a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。在低频处有双线性变换法的基本原理s和z的关系为W和w

的关系为双线性变换法的基本原理

稳定性分析令s=

+j

，则有双线性变换法的基本原理

稳定性分析1)s<0,|z|<1S域左半平面映射到z域单位圆内2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统双线性变换法的基本原理

W和w

的关系)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww双线性变换法的基本原理

双线性变换法的优缺点

缺点：一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了;幅度响应不是常数时会产生幅度失真。

优点：无混叠双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。由上图看出，在零频率附近，模拟角频率ω与数字频率Ω之间的变换关系接近于线性关系；但当ω进一步增加时，Ω增长得越来越慢，最后当ω→∞时，Ω终止在折叠频率=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如下图所示。图双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

例设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为Ωc=0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。

解：数字低通滤波器的截止频率为Ωc=0.25π，相应的巴特沃思模拟滤波器的3dB截止频率是ωc，就有模拟滤波器的系统函数为由上题可知，T不参与设计。将双线性变换应用于模拟滤波器，有双线性变换法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。双线性变换法设计DF的步骤Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)

将DF的频率指标转换为AF的频率指标(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp故例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器

结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=2

例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为取Wp=0.6p，令z=ejW，可分别获得两者的幅度响应。例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脉冲响应不变法双线性变换法Wp=0.6p

脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。

3dB例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2Ap

2db,As

15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）=2=0.5851例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');puterApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945As=15.0000例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换Ap=0.3945As=15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变Ap=1.1187As=12.3628

设计IIR滤波器的频率变换法

图

模拟频率变换两种等效的设计方法(a)先模拟频率变换，再数字化;(b)将(a)的两步合成一步设计1、模拟频率变换法的原理框图2、数字频率变换法的原理框图图

数字频率变换法非低通IIR数字滤波器的设计Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器复频率变换

注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器

方法一非低通IIR数字滤波器的设计

方法二Wp,WsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器z域变换例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:

脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。

(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标

取T=2，利用得模拟带阻指标为wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB模拟带阻指标例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(3)设计原型BW型模拟低通滤波器Ap

1dB,As

10dB原型模拟低通指标原型模拟低通滤波器的系统函数为

例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器(5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器

利用MATLAB实现IIR数字滤波器

确定数字滤波器的阶数及3dB截频Wc[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)

其中Wp,Ws为归一化角频率。

例Wp=0.1p,则Wp=0.1

若