2023-2024学年八年级数学上册 13.1.2 垂直平分线分析

PAGE1第十三章轴对称13.1.2垂直平分线1垂直平分线（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如下图，l⊥AB，且AO=BO，则l是线段AB（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；如下图，若l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB.（利用全等三角形可证明）（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；如下图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；（利用全等三角形可证明）拓展：若PA=PB，QA=QB，则PQ是线段AB的垂直平分线.（4）垂直平分线的尺规作图尺规作图：作线段AB的垂直平分线.作法：以A,B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ，则直线（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心.（2）三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心.如下图，直线m，n，l分别是三角形ABC三边AB、AC和BC的垂直平分线，它们会交于一点O，点O就是三角形ABC的外心.证明设直线m，n交于点O，依题意可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，所以点O在线段BC的垂直平分线上，即直线m，n，l交于同一点O.因为AO=BO=CO，所以以点O为圆心，AO为半径画个圆，该圆必过三角形三个顶点A，B，C.【题型1】线段垂直平分线的性质【典题1】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝°．解析∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠FAE＝19°，∴∠FAC＝∠C+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，则∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，解得：∠C＝24°，故答案为：24．【典题2】已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE＝CF；②若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．解析①证明：连接CD，，∵D在BC的中垂线上,∴BD＝CD∵DE⊥AB，DF⊥AC,AD平分∠BAC∴DE＝DF∠BED＝∠DCF＝90°在RT△BDE和RT△CDF中&DE∴RT△BDE≌RT△CDF(HL)，∴BE＝CF；②解：由(HL)可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF＝6，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝(AE+BE)+BC+(AF﹣CF)＝6+7+6＝19．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为()A．2 B．1 C．4 D．3答案A解析∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，∵BC＝2，∴△AEF的周长为2，故选：A．2.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm答案C解析∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是()​A．22° B．27° C．32° D．40°答案B解析∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠∵MN垂直平分线AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝42°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．故选：B．4.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点．(1)求证：AB＝CE．(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数．答案(1)略(2)84°解析(1)证明：如图，连接AE．∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE．∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＝CE．(2)∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，∴∠AEB＝64°．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°．【题型2】线段垂直平分线的判定【典题1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：(1)求BC的长；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．解析(1)∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；(2)点O在边BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，CO＝AO，∴OB＝OC，∴点O在边BC的垂直平分线上．【巩固练习】1.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC的垂线交AB于点E，求证：CE垂直平分BD．证明∵ED⊥AC，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，在Rt△ECB和Rt△ECD中&EC∴Rt△ECB≌Rt△ECD(HL)，∴EB=ED，又∵BC＝DC，∴CE垂直平分BD．2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．答案(1)65°(2)略解析(1)解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝12∠BAC∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【题型3】三角形的外心【典题1】如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为()​A．20° B．30° C．25° D．35°解析连接OA、OB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝20°．故选：A．【巩固练习】1.到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条()A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．角平分线的交点 D．高线的交点答案B解析因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：B．2.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为．答案40°解析∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝12故答案为：40°．3.如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝64°，则∠D＝°．答案128°解析如图，连接AD，∵点D是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AD＝BD＝CD，∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×64°＝128°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣128°＝52°，在△DBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BDC＝180°﹣(∠DBC+∠DCB)＝180°﹣52°＝128°．故答案为：128°【题型4】尺规作图【典题1】作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．(写出作法，保留作图痕迹)解析①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于F③连接BF，则射线BF即为∠ABC的角平分线；⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC为半径画圆，两圆相交于H，G⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求．【巩固练习】1.在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．​解析由题意得，点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图即可．2.如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置．解析如图，点D为所作．【A组基础题】1.如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为21，则AC的长为()​A．6 B．9 C．10 D．12答案D解析∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长等于21，∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝21．∵△ABC中，BC＝9，∴AC＝21﹣9＝12．故选：D．2.如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为()A．35° B．30° C．25° D．20°答案A解析∵AO平分∠BAC，∴∠BAO∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝35°，故选：A．3.政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在()A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点答案B解析∵仓库P到村庄A、B的距离相等，∴点P在AB的垂直平分线上，∵仓库P到村庄A、C的距离相等，∴点P在AC的垂直平分线上，∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点，故选：B．4.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为()A．66° B．52° C．46° D．42°答案B解析∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD＝26°，∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°，故选：B．5.已知P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC＝40°，则∠BPC＝()A．70° B．80° C．120° D．110°答案B解析∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴点P是△ABC的外心，∠BPC＝2∠BAC＝80°，故选：B．6.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为cm．答案12解析∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP＝NP2，MP＝MP1，∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝12cm，故答案为：12．7.已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．(1)作出边AC的垂直平分线DE；(2)当AE＝BC时，求∠A的度数．答案(1)略(2)20°解析(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；(2)如图，连接CE，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，设∠A＝x，则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．8.如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．证明在△AOB与△COD中&∠A∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．9.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．(1)若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．①求线段BC的长；②求线段OA的长．(2)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．答案(1)①8cm②6cm(2)60°解析(1)①∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm；②∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边