2015年第26届亚太小学数学奥林匹克第一回合 答案

20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合201526届亚太小学奥林匹克第一回合2小时（总分：150分）2015年4月11日上午900~1100（注意事项）第一题至第十题，每题4分第十一题至第二十题，每题5分第二十一题至第三十题，每题6分1题】200米的环形跑道上，甲乙两人从相同的位置同时出发，按顺时针方向跑步。已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。请问，在16分钟内，甲超过乙多少次？【分析与解】行程，环形跑道追及问题。甲每20064100秒追上乙一次；16分钟960秒；960100960；甲超过乙9次。2题】一个长方体的长、宽、高的比例为432，全部棱长总和为72【分析与解】几何，立体几何。因为长方体的长、宽、高的比例为432；所以设这个长方体的长为4x厘米、宽为3x厘米、高为2x厘米；44x3x2x72；x2；这个长方体的长为428厘米、宽为326厘米、高为224厘米；这个长方体的体积为864192立方厘米。33题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合1012345672345678910123456789234567。设234567A23456789B；1012345672345678910123456789234567101AB101BA101BAB101ABA101BA1018989894题】一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各04568个球，他们的数字和是9。请问其中最多可能有多少个红球？【分析与解】如果8个球都是红球，则数字之和是4832；把一个红球换成一个黄球，数字之和增加541；把一个红球换成一个绿球，数字之和增加642；3932231；故要把把3个红球换成3个绿球，把1个红球换成1个黄球；即4个红球、1个黄球、3个绿球数字之和为39；另一方面，若有5个红球，数字之和不超过456338；故最多可能有4个红球。5题】5题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合A591A有多少种不同的取值？9 A【分析与解】591；9 A9A1，即1A9；5 9 9 5所以9A81，即9A161；5 5A是正整数；A10、11、12、13、14、15、16；A有161017种不同的取值。6题】已知某个月份有31天，其中星期一和星期五出现的次数相同。请问这个月的10号是星期几？【分析与解】31743；星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期🖂、星期六中，只有3个出现5次；而星期一和星期🖂出现的次数相同；所以星期一和星期🖂出现的4次；所以出现5次的是星期二、星期三、星期四；所以这个月的1号是星期二；所以这个月的10号是星期四。星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12345678910111213141516171819202122232425262728293031PAGEPAGE7题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合已知一个正整数和411的乘积的最后四位是2015，那么这个正整数最小是多少？【分析与解】数论，整除。41141141141155552055，，，，2015201520152015411411411411565656520552055205520556，6，2466，2466，32015201520152015411411411411365365365236520552055205520552466，2466，2466，2466，312331233123322201520152015201541141123652365205520552466，2466；123312338228222015972015即4112365972015；这个正整数最小2365。和三块黑皮三块白皮相邻，每块黑皮和五块白皮相邻。问：共有多少块皮是白的？【分析与解】先找等量关系式：白色皮块的边中与黑色皮块公用的边数黑色皮块的边中与白色皮块公用的边数；x块白色皮块；3x532x；x20；共有20块皮是白的。9题】ABCD的边长为8EABBEFGAFC的面积。GD CGFA B E【分析与解】几何，面积，等积变形。GD CGFB EBF；ABCDBEFG都是正方形，即BACEBF45；ACBF；SAFCSABC88232平方厘米。1010题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合有一种“五加一”汽水，每五个空瓶可以换一瓶新汽水。一次同学聚会，某班喝了109瓶汽水，其中有一些是用空瓶换来的。请问：最初他们至少买了多少瓶汽水？等量代换。因为5个空瓶1瓶水1个空瓶；所以4个空瓶1瓶水；所以每买4瓶就能喝到5瓶水；；班长只要买214488瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。如图所示是将一个多面体全部展开后得到的平面图。请问这个多面体有多少条棱？【分析与解】几何，立体几何。（方法一）把这个多面体构造出来；如图所示，这个多面体的有15条棱。（方法二）则两条边段才对应多面体的一条棱；所以这个多面体的有618215条棱。1212题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合已知229是一个由九个不同数字组成的九位数。请问哪个数字没有出现？212mod9，224mod9，238mod9，247mod9，255mod9，261mod9；2n924875，1”循环出现；因为29645；所以2299的余数与259的余数相同，为5；如果不缺任何数字，所有的数位上的数字之和为012345678945；而459余0；故229中缺少的数字为954。229536870912。13题】某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑自行车，42人会打乒乓球。请问这个班至少有多少名学生这三项运动都会？【分析与解】计数，容斥原理。523022人不会游泳；35523517不会骑自行车；10不会打乒乓球；要使三项都会最少，则至少一项不会最多；至少一项不会最多有22171049人；三项都会的最少有52493人。1414题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合货运公司要运送89吨货物，每辆大卡车的载重是7吨，小卡车的载重是4吨。如果每辆大货车耗油14升，小卡车耗油9升，那么运完这批货物最少耗油多少升？最值问题。因为大卡车平均运送一吨货物耗油1472吨，小卡车平均运送一吨货物耗油942.25吨；所以尽可能多用大卡车；897125；🕔13辆大卡车：可以运送货物71391吨，共耗油1413182升；②122辆小卡车：可以运送货物7124292吨，共耗油141292186升；③11辆大卡车、3辆小卡车：可以运送货物7114389吨，共耗油141193181升；运完这批货物最少耗油181升。15题】设有一个凸多边形，在除去一个内角之后所有其他内角之和为2015。试求这个内角的度数。因为这是一个凸多边形；所以每个内角都小于180；因为在除去一个内角之后所有其他内角之和为2015；所以这个多边形的内角和大于2015且小于20151802195；而多边形的内角和为180的整数倍；20151801135，21951801235；故这个多边形的内角和为121802160；除去的这个内角为21602015145。PAGEPAGE16题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合AB分别是两个四分之一圆的圆心，两圆的半径分别为1428厘米。试求图中标有Ⅰ和Ⅱ（取22）7ⅠⅡⅠⅡ14 14【分析与解】几何，面积，圆与扇形。ⅠⅢⅠⅢⅣⅡ14 14 ⅠⅡⅠSⅢⅣⅡSⅢⅣS1

S1

S4大圆 4小圆 1282114214281473921472239270平方厘米。4 4 7 请问：在一个66的格子图中，共有多少个形如

的图形？【分析与解】计数，图形计数。在66的格子图中，有5552222的田字格”中，有4个形如

的图形；故在一个66425100个形如

的图形。18题】两个自然数相除，商是15，余数是5。已知被除数、除数、商和余数之和是2169。求被除数。【分析与解】x，则被除数是15x5；15x5x1552169；x134；被除数是1513452015。19题】现有两种腰长为1的等腰三角形，一种是顶角为30的锐角等腰三角形，另一种是顶角为90的直角等腰三角形。依下图所示，现将这两种三角形绕着一个点，以顺时针方向摆放，规则如下：第12个是锐角等腰三角形，第3个是直角三角形；第4第5个是锐角三角形，第6n个三角形刚好和第1n的最小值。545463892120152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合【分析与解】（方法一）5131214131214111015973892 119 20212221222318151716n最小是23。（方法二）nk1（k为自然数，则2k30k90150k是360的整数倍；k最小是18；n最小是318155。nk2（k为自然数，则2k0k9005k是60的整数倍；k最小是7；n最小是37223。n最小是23。PAGEPAGE20题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合ABCDEFABBCDEDFACMN。如ABCD的面积是48cm2EBFNM的面积。MNMNEF C【分析与解】几何，面积，等积变形。EAB边上的中点；

S正方形ABCD

148112平方厘米；4 4ABCDAECD；EMDMAECD12；SAEMSADM12；

11214平方厘米；3 3S△CFN4平方厘米；

S正方形ABCD

148124平方厘米；2 2EBFNMSABCSAEMS△CFN244416平方厘米。3分，负队得0分，平局两队各得1分。已知全部比赛结束后，四个队的积分刚好是四个连续正整数，求这四个数的乘积。【分析与解】体育比赛中的数学。一共有C2436场；4 21两队每场比赛得分和为2分或3分；总得分最少为2612分，最多为3618分。所以四队的得分依次为2、34、5或34、5、6。若四队的得分依次为34、5、6，总和是18，不应有和局，得分4和5的队都有和局，舍去这种情况；若四队的得分依次为2、34、5，总和是14，应有18144场比赛是平局，所以得5分的队有2场平局，得4分的队有1场平局，得2分的队有2场平局；所以得3分的队必有3场平局；所以得4分的队胜得2分的队，得4分的队负得5分的队；四支球队的胜负关系如图所示：5分 4分2分 3分这种情况是存在的；这四支球队的积分的乘积是2345120。PAGE22PAGE22题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合一个蓄水池有五根水管。要将水池装满，前四根水管一起开需要6小时；后四根水管一起开需要8小时。12工程问题。设整个水池为1份；一号水管二号水管三号水管四号水管161

①66二号水管三号水管四号水管五号水管181

②； 一号水管五号水管

8112

③ 8 12 ①2111218 12 48如果单独用🖂号水管，需要1148

48小时将水池装满。23题】请问乘积5101520201020150”？【分析与解】数论，分解质因数，末尾的零。我们知道一些数相乘末位数为零，则说明这些数分解质因数必定有质数2与5。每多出现一对2与5就多出现一个零。510152020102015515253545402540312344024035403；我们考虑1234402403的乘积中，因数2的个数、因数5的个数；，100250，50225，11；201100502512631398；1234402403的乘积中，因数2的个数有398个；故510152020102015的乘积中，因数2的个数有398个；而510152020102015的乘积中，因数5的个数多于403个；故乘积510152020102015的尾部有3980PAGEPAGE24题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合在图中，将一些格子染色，使得图中任意一个33的正方形内恰好有4个格子染了色，请问至少需要将多少个格子染色？最值问题。图1首先我们考虑图1的4个33的正方形；要使这4个33的正方形，每个至少有4个格子染了色，且染的格子数量尽可能少；我们先考虑这4个33的正方形的重叠部分；其中第3行第3列被计算4次，第1行第3列、第2行第3列、第4行第3列、第5行第3列、第3行第1列、第3行第2列、第3行第2列、第3行第2列分别被计算2次；44161426；故至少需要167个格子染色；另一方面，如图2所示，是符合题意的一种染色方式；图2综上所述，至少需要将7个格子染色。从标有号码1至49的49只球中，挑选若干个球，排成一个圆圈，使任何相邻两球的标号数乘积小于100。问：最多能挑选多少只球？最值问题。91090，1011110；故任意两只标号数不小于10的球不能相邻；即相邻的两只球至少有一个标号数小于10；故最多能挑选9218只球。例如如下图所示。101189 211 178 312 167 413 15614526题】A、B两站同时相向开出，甲车速度与乙车速度的比为32。CA、B两站之间，甲、乙两列车到达C站的时间分别是上午9时和晚上19时。求甲乙两车相遇的时间。【分析与解】行程问题，相遇问题。若甲车到达途中C站后停止，乙车要和甲车相遇需要19910个小时；因为甲车速度与乙车速度的比为32；所以甲、乙两车的速度和与乙车速度的比为52；所以当甲车到达途中C站后，甲、乙两车相遇需要10254小时；甲乙两车相遇的时间为1300。PAGEPAGE27题】20152015年第26届亚太小学奥林匹克第一回合设a，b，c为0到9的数字（允许相同，如果将所有形如0.abc的循环小数化成最简分数，分子有多少数论。0.abc；abc999abc3 ；abc001~999；3的倍数有9993333个，37的倍数有9993727个，既是3的倍数又是37的倍数有9993379个，3的倍数或37的倍数有333279351个；既不是3的倍数，又不是37的倍数有999351648个。abc既不是3的倍数，又不是37abc为最简分数；这样的分子有648个；999⑵如果化成最简分数后，分子是37abc应该是3721369的倍数，这种情况不存在；⑶如果化成最简分数后，分子是3abc应该是3481的倍数；999811227，即1~9993481的倍数有12个；综上所述，分子有64812660种不同的取值。AKQJ，10AKQJ，10的信封，要求每个信封内都有一张牌。请问有多少种放法使得最后每张牌都被放进了错的信封？【分析与解】（方法一）AK中：KA中，有2种情况：🕔牌QJJ放进信封10中，牌10放进信封Q中；②牌Q放进信封10中，牌10JJ放进信封Q中；K放进信封Q中，有3种情况：🕔牌QAJ放进信封10中，牌10J中；②牌QJJ放进信封10中，牌10A中；③牌Q放进信封10中，牌10JJA中；KJ、10中，也各有3种情况；AK23311种情况；A放进信封QJ、10中，也各有11种情况；有11444种放法使得最后每张牌都被放进了错的信封。（方法二）Euler装错信封问题】某人写了几封信，并且在几个信封上写下了对应的地址，把所有的信笺装错信封的情况，共有多少种？nn111n1种。!11! 2! 3! n! 有5!11111144种放法使得最后每张牌都被放进了错的信封。 1! 2! 3! 4! 5! 29题】有多少个五位数能被3整除而且至少有一个数字是'3？【分析与解】计数，排除法，乘法原理。我们先考虑“至少出现一个数码3”的反面“不含数码3那么万位有8种选择（不能选0、3，千位、百位、十位均各有9种选择（不能选3我们知道如果一个数是3的倍数，那么这个数的数