立体几何复习题

东山二中高一数学备课组立体几何复习题1.一个四边形的直观图是边长为a的正方形，则原图的面积为:还原2.已知一个圆锥的底面半径为6cm，高为4cm，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱。（1）求圆锥的全面积；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？（2）解：假设圆柱的半径为r’∴当x＝2时,圆柱的侧面积取得最大值3.如图1－6，已知三棱台ABC—A’B’C’，S△ABC

=25,S△A’B’C’=9,高h＝6，（1）三棱锥A’—ABC的体积；（2）求三棱锥A’—BCC’的体积AB’A’CBC’分析：把三棱台分割有三个部分，利用体积相等来解决问题4.在半径为13的球面上有A、B、C三点，AB=6，BC=8，CA=10，求过A、B、C三点的截面面积及球心到截面距离.解：∵AB=6，BC=8，CA=10∴△ABC是直角三角形过A、B、C三点的截面的小圆的半径是55.已知正四面体A—BCD的边长为a，若一个球O与此正四面体A—BCD的各面都相切，试求球O的表面积分析：利用体积相等原理，将正四面体分割为4个部分，而且这四个部分体积相等解：设球的半径为r6.正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是∵AD//BC，∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角连结CE、CF设CB=a，CE=aAFEDCB7.已知Rt△ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面成30°和45°，这个直角三角形所在平面与平面所成的二面角的正弦值为ECDBA按照题意，画出图形,BC为斜边，AD⊥面BCD，∠ABD=30°,∠ACD=45°设AD=a作AE⊥BC，∠AED为这个直角三角形所在平面与平面的二面角的平面角8.如图3-6，在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M、N、P分别是C’C、B’C’、C’D’的中点，求证（1）AP⊥MN;（2）平面MNP//平面A’BDNMPDCBAC’B’A’（1）连结A’D和AD’D’MN//B’C//AD’（2）9.如图3－8，在三棱锥P—ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，且△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB（1）求证PC⊥面PAB；（2）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值PECFBA∴∠PFC为二面角P—AB—C的平面角10.如图3－7，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B＝90°，∠BCD＝135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角，（1）求证AB⊥平面BCD；（2）求二面角B—AD—C的大小（求出一个三角函数值）；（3）过C作平面ABD的垂线，求垂足与点C的距离BCDAABCD分析：翻折问题注意翻折前后的一些不变的量BCDAEF（2）作BE⊥AC于E，过E作EF⊥AD于F，连结BF（3）∵AB⊥面BCD,∴面ABD⊥面BCD,作CG⊥BD,则CG⊥面ABD则∠BFE为二面角B—AD—C的平面角G1个其中，第三个命题正确1个其中，第四个命题正确13.已知直线a平行于平面，且它们的距离为d，则到直线a与平面的距离都等于d的点的集合是（）A.空集B.两条平行直线C.一条直线D.一个平面B14.如图4－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小（）A.不变B.变大C.变小D.有时变大又是变小15.点A、B到平面α的距离分别是4cm、6cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为lCBAP5或1cm提示：A、B有两种情况，在α同侧和异侧A16.如图4－6，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证MN⊥CD；（2）∠PAD＝45°，求证MN⊥平面PCDBPCDANM（1）取CD中点E，连接ME、NE∵M、N分别是AB、PC的中点∴NE//PD,ME//AD又CD⊥AD,CD⊥PD∴ME⊥CD,NE⊥CD∴CD⊥面MNE,CD⊥MNE（2）连接PM、CM∵∠PDA=45°∴PA=AD=BC,∴PM=CM又N为PC中点，∴MN⊥PC又MN⊥CD，∴MN⊥面PCDBPCDANMF（1）取PD中点F，连结NF，DF∴MN分别是AB、DC的中点∴AMNF是平行四边形∴MN//AF（2）∵∠PDA=45°PA⊥AD∴PA=AD∴AF⊥PD∴AF⊥面PCD又∵AF∥MN∴MN⊥平面PCD方法二17.如图4－8，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在AB上移动，（1）求证D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离A1CB1AD1C1EBD（1）连结AD1（2）设点E到平面ACD1的距离为h，OCABD∵OA、OB、OC两两垂直∴OC⊥平面OAB过O作OD⊥AB，连结CD∴CD⊥AB18.已知两两垂直的三射线OA、OB、OC分别交平面于A、B、C三点，若OA=1，OB＝2，OC=3，则平面与平面OAB所成角的余弦值是即∠ODC为平面与平面OAB所成二面角的平面角在Rt△ODC中，∠DOC＝90°19.如图6－5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0，求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长DD1C1B1A1CBAacb将长方体相邻两个面展开有三种可能，每种情况种AC1的长分别为：20.如图6－10，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，DC=a，且F为BE的中点，（1）求证DF//平面ABC；（2）求证AF⊥BD；（3）求平面BDE与平面ABC所成的二面角的大小ABCDEFG（1）取AB的中点G，连结FG、CG∴FG为△ABE的中位线∴四边形EGCD为平行四边形△ABC为等边三角形，及△ABE为等腰三角形ABCDEFG又G、F分别为AB、BE的中点∴AF⊥BE∴GC⊥AB,AE⊥GC∴GC⊥面ABE∴AF⊥GC∴AF⊥DF∴AF⊥面BFD∴AF⊥BD（2）ABCDEFH（3）分析：面EDB和面ABC只有一个交点，所以先找出另外一个交点延长ED和AC交于一点H∴CH=2a由勾股逆定理知，△ABH为直角三角形∴∠ABH=90°∴∠ABE为平面BDE与平面ABC所成的二面角的平面角∴BH⊥AB,BH⊥EB∴∠ABE=45°21.已知ABCD—A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M