人教A版数学选修2-1讲义第2章2.42.4.2抛物线的简单几何性质Word版含答案

2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p．3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.eq\f(17,16) B.eq\f(7,8)C．1 D.eq\f(15,16)D[抛物线方程可化为x2＝eq\f(1,4)y，其准线方程为y＝－eq\f(1,16)，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是eq\f(15,16).]2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16yD[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10 B．8C．6 D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．2[F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.]抛物线几何性质的应用【例1】(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq\r(3)，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，求抛物线的标准方程．(1)y2＝3x或y2＝－3x[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±eq\r(3)，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，eq\r(3))或(－1，eq\r(3))，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.](2)解：由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.而抛物线准线方程为x＝－eq\f(p,2)，于是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，从而△AOB的面积为eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为eq\f(p,2).1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)xC[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故选C.]与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】(1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\o(OB,\s\up8(→))，求λ的值．思路探究：(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．②根据①求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\o(OB,\s\up8(→))，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值．[解](1)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，∴k＝4.∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数得y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.(2)①直线AB的方程是y＝2eq\r(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))；设eq\o(OC,\s\up8(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(3)“中点弦”问题解题策略两种方法2．(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．y2＝4x[设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝2px1，①,yeq\o\al(2,2)＝2px2，②))②－①整理得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)，又eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.因此抛物线C的方程为y2＝4x.](2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．[解]因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，此时|AB|＝4，不合题意，所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，所以eq\f(2k2＋4,k2)＝6，解得k＝±1.所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.直线与抛物线的位置关系【例3】(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究：(1)直线y＝kx－k过定点(1，0)，根据定点与抛物线的位置关系判断．(2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．(1)C[直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C.](2)解：由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x＋2），,y2＝4x，))(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(Ⅰ)：当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝eq\f(1,4)，这时，直线l与抛物线只有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(Ⅱ)：当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1<k<eq\f(1,2)，于是，当－1<k<eq\f(1,2)，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．c．由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>eq\f(1,2).于是当k<－1或k>eq\f(1,2)时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．综上，当k＝0或k＝－1或k＝eq\f(1,2)时，直线l与抛物线只有一个公共点．当－1<k<eq\f(1,2)，且k≠0时直线l与抛物线有两个公共点．当k<－1或k>eq\f(1,2)时，直线l与抛物线无公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[解]因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝（a＋1）x－1，,y2＝ax))只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程组有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))综上，实数a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).抛物线性质的综合应用[探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？[提示]两条直线的斜率互为相反数．2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？[提示]法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)＝eq\f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))\s\up20(2)－\f(4,3)＋8))＝eq\f(1,5)|3(t－eq\f(2,3))2＋eq\f(20,3)|＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))eq\s\up20(2)＋eq\f(4,3).∴当t＝eq\f(2,3)时，d有最小值eq\f(4,3).法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－eq\f(4,3).∴最小距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．思路探究：第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．[解](1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即eq\f(y1－2,x1－1)＝－eq\f(y2－2,x2－1).又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),4)，x2＝eq\f(yeq\o\al(2,2),4)，从而有eq\f(y1－2,\f(yeq\o\al(2,1),4)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(yeq\o\al(2,2),4)－1)，即eq\f(4,y1＋2)＝－eq\f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1.1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？[解]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))由图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3eq\r(5).设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|.∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.∴d＝eq\f(1,2\r(5))[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝eq\f(9,2\r(5))，Smax＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2\r(5))×3eq\r(5)＝eq\f(27,4).故当点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))时，△PAB的面积取得最大值，最大值为eq\f(27,4).2.若本例改为：在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3，0)．如何求解？[解](1)因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my－4＝0.于是，有yM＝eq\f(y1＋y2,2)＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m)．同理，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋1，－\f(2,m))).因此，直线MN的斜率kMN＝eq\f(2m＋\f(2,m),（2m2＋1）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋1)))＝eq\f(m,m2－1)，方程为y－2m＝eq\f(m,m2－1)(x－2m2－1)，即mx＋(1－m2)y－3m＝0.显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0)．应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋