第二章2.32.3.1两条直线的交点坐标高中数学人教A版选择性

两条直线的交点坐标第二章

直线的交点坐标与距离公式1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.学习目标在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等.导语随堂演练课时对点练一、求相交直线的交点坐标二、判断两直线位置关系的方法三、直线系过定点问题内容索引一、求相交直线的交点坐标提示直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.问题1

已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线

上，也在直线

上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组

的解.l1l2知识梳理例1

求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.即l1与l2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点，故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.方法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.跟踪训练1

求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.即4x＋3y－6＝0.方法二∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.二、判断两直线位置关系的方法一组无数组_____直线l1与l2的公共点的个数一个_______零个直线l1与l2的位置关系_____重合_____无解无数个知识梳理相交平行注意点：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.例2

(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；①②①×2得4x－12y＋8＝0.①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.反思感悟判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.跟踪训练2

已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________.三、直线系过定点问题问题2

观察下面的图象，发现直线都经过点M(4,1)，怎么表示出经过M点的直线方程？提示当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).知识梳理例3无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.解∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，∴点P的坐标为(7,3).反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组

解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).跟踪训练3已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.证明将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.所以无论a为何值，直线总经过第一象限.1.知识清单：(1)两条直线的交点.(2)直线系过定点问题.2.方法归纳：消元法、直线系法.3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.课堂小结随堂演练1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为A.(3,2) B.(2,3)C.(－2，－3) D.(－3，－2)√12342.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点A.(－3，－1) B.(－2，－1)C.(－3,1) D.(－2,1)√1234解析直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.12342x＋y－4＝0解析设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝_____.1234又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，课时对点练1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为A.(－4，－3) B.(4,3)C.(－4,3) D.(3,4)√基础巩固123456789101112131415162.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为A.12 B.10 C.－8 D.－6√解析∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，∴m＋n＝10.123456789101112131415163.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是x－9y＝0 x＋19y＝0x＋19y＝0 x－3y＝0√12345678910111213141516即3x＋19y＝0.4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是A.－24

B.6 C.±6√解析因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，123456789101112131415165.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点√解析由a＋2b＝1，得a＝1－2b，则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，123456789101112131415166.若直线l：y＝kx－

与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°}C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}√12345678910111213141516解析由题可知k≠－1，12345678910111213141516∵两直线的交点在第一象限，∴30°<θ<90°.7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为__________.3x＋y＝012345678910111213141516则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，即3x＋y＝0.8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______.－2解析由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2.123456789101112131415169.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.12345678910111213141516即27x＋54y＋37＝0.10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.12345678910111213141516∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，123456789101112131415161234567891011121314151611.已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是______.解析由直线ax＋y＋a＋2＝0，得a(x＋1)＋(y＋2)＝0，12345678910111213141516综合运用y＝2x∴直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________.解析设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.12345678910111213141516x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.13.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}

{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝___.212345678910111213141516代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.14.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________.12345678910111213141516(－∞，－3]∪[1，＋∞)解