2023-2024学年福建省南平市高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年福建省南平市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由解得，所以，由解得，所以，所以，故选:B.2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为，故不符合题意.故选：B3．如图所示，函数（且）的图像是（

）．A． B．C． D．【正确答案】C【分析】将函数解析式化成分段函数，再根据正弦函数的图象判断即可.【详解】解：因为，所以函数图象如C所示.故选：C4．若，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法判断可得出结论.【详解】因为，，，故.故选：D.5．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故选：B．6．若关于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m在区间上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是（

）A．[0，2) B．[0，2]C．[1，＋1] D．[1，＋1)【正确答案】B【分析】首先化简方程为，通过换元设，若满足条件，利用图象分析可知，求得实数的取值范围.【详解】关于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m可化为sin2x＋cos2x＝m－1，即sin＝．易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥．令2x＋＝t，即sint＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2．作出y＝sint的图象，如图所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，所以，故0≤m≤2.故选：B本题考查根据三角方程的实数根的个数求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是理解条件，并会数形结合分析问题，转化为不等式解集问题.7．“字节”（Byte，B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K，kilo）､兆（M，mega）､吉（G，giga）､太（T，tera）､拍（P，peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1024B；1MB=1024KB；1GB=1024MB；1TB=1024GB；1PB==1024TB=xB。已知是一个位整数，则（

）（参考数据：）A．8 B．9 C．15 D．16【正确答案】D【分析】先算得1PB=B，然后利用对数转化为10进制，得出结论.【详解】1PB=TB=GB=MB=KB=B，，则，因为是一个位整数，则，故选：D.8．函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（

）A． B． C． D．【正确答案】D由③可得，，然后由②可得，，然后结合在上非减函数可得答案.【详解】由③得，，∴，．由②得，．∵且，．又在上非减函数，∴，故选：关键点睛：解答本题的关键是由条件得到，.二、多选题9．已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.【详解】因为，所以，则，因为，所以，，所以，故A正确；所以，所以，故D正确；联立，可得，，故B正确；所以，故C错误.故选：ABD.10．下列说法正确的是（

）A．幂函数是奇函数，则B．在的展开式中，含的项的系数是C．的展开式中第6项的系数最大D．已知函数与函数的值域相同，则实数的取值范围是【正确答案】ABC【分析】选项A，由幂函数的定义可知其系数为1，求得m后再验证奇偶性；选项B，展开式中的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到；选项C，展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等，所以只需找到展开式中间一项即可；选项D，分段函数的值域是指每一段函数值域的并集，所以需要判断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.【详解】选项A，依题意幂函数，则，解得或，当时，是一个偶函数，不合题意；当时，是一个奇函数，满足题意，故A正确；选项B，在的展开式中，的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到的，所以的项的系数为，故B正确；选项C，的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，展开式共11项，中间一项即第6项的二项式系数最大，即系数最大，故C正确；选项D，函数的值域为R，所以函数的值域为R.因为是一个增函数，所以当时，，即；若函数的值域为R，则当时，，所以满足条件，即，解得，则实数的取值范围是，故D错误.故选：ABC.11．若，，则下列不等关系正确的有（

）A． B． C． D．【正确答案】BCD【分析】指对互化后求得，对A、C选项可利用不等式及变形判断结论是否正确；对B选项可用“1”的代换判断结论是否正确；对D选项：由换底公式得，分别计算与的范围可判断结论是否正确.【详解】由，，得，，所以，对于A，由不等式得，，又，，所以A不正确；对于B，因为，，，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；对于D，因为，，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，所以，所以，所以D正确，故选：BCD.12．已知函数，则方程的根的个数可能为（

）A．2 B．6 C．5 D．4【正确答案】ACD【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出的图象如图所示：令，则，则，当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根的个数为2个，A正确；当时，即时，，则故，，当时，即，则有2解，当时，若，则有3解；若，则有2解，故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；故选：ACD本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.三、填空题13．方程的解集为______.【正确答案】【分析】对数函数是增函数，方程的解转化为求解即可。【详解】因为对数函数是增函数，所以方程的解，即是的解，即，故此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加，属于简单题目。14．已知函数在区间上恒有，则实数的取值范围是________【正确答案】【分析】将对数型函数的底数分类讨论：，然后根据对数式恒大于零列出对应的不等式组并求解出解集，即可得到的取值范围.【详解】若函数在区间上恒有，则或，当时，，解得；当时，，此时无解.综上实数的取值范围是.故答案为.本题考查对数函数以及不等式恒成立问题，难度一般.(1)讨论指数型、对数型函数的值域时，若底数是参数形式，一定要注意对底数作分类讨论；(2)不等式恒成立问题的两种处理方法：分类讨论法、参变分离法.15．给出下列四个命题：①的对称轴为；②函数的最大值为2；③；④函数在区间上单调递增．其中正确命题的序号为__________．【正确答案】①②【分析】对①，由正弦型函数的通式求解即可；对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断；对③，由特殊函数值可判断错误；对④，先结合诱导公式将函数化为，由求出的范围，再结合增减性判断即可【详解】令，故①正确；，故该函数的最大值为2，故②正确；当时，，故③错误；由，故在区间上单调递减，故④错误．故答案为①②本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题16．市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.有下列结论：①定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②函数仅有一个不动点③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点上述结论正确的是___________.【正确答案】②③【分析】对于①举反例，对于②研究函数的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究与分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.【详解】对于①，取函数既是的不动点，又是的次不动点，故①错误，对于②，，令，易知为上的增函数，又由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点，故②正确；对于③，当时，即.令在区间[1，2]上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.当时，，即.令在区间上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.综上.故③正确；故②③.四、解答题17．已知函数.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.【正确答案】(1)函数为奇函数，证明见解析(2)函数在区间上单调递减，证明见解析【分析】（1）先求得的定义域，然后利用单调性的定义判断出的奇偶性.（2）利用单调性的定义，由作出判断.【详解】（1）因为，即，解得或，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称，.因为，所以为奇函数.（2）在区间上单调递减，证明：任取且，，因为，所以，可得，所以，所以，所以在区间上单调递减.18．（1）求值:；（2）已知，求的值.【正确答案】（1）；（2）【分析】(1)将改写成的形式，然后根据两角差的正余弦公式展开并化简，最后借助两角差的正切公式即可得到结果；(2)利用以及角的范围完成计算即可.【详解】（1）（2）由题意得，则，因为，又，则，所以，所以.本题考查三角函数的化简与计算，难度一般.(1)计算非特殊角的三角函数值时，可通过非特殊角与特殊角之间的和、差、倍、分关系，转而去计算特殊角的三角函数值；(2)注意三角恒等式：19．设函数且是定义域为的偶函数，(1)求的值并用定义法证明在上的单调性；(2)若，求实数的取值范围；(3)若在上的最小值为，求的值.【正确答案】(1)或者，证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的单调性进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；（3）利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由函数是定义域为的偶函数，满足，即，，即，，又，即，化简为：，解得：或者，，设且，则，由，得，，即，，在单调递增；（2）是上的偶函数，在单调递增，在单调递减.，即，，两边平方得：解得：，实数的取值范围为：；（3）由（1）知，将变形得：令，因为，由对勾函数的性质得.则原函数化为：，由题知，在上的最小值为，函数的对称轴为：，①当，即时，，解得：或，均不符合题意，舍去，②当，即时，，不符合题意，③当，即时，，解得：符合题意，所以的值为.关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.20．北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：（套）已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入在哪天达到最低．【正确答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第天达到最低.【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.【详解】（1）模型③最合适，理由如下：对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有，解得，∴，经验证，均满足表中数据，因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），∴第天的日销售收入为（元），∴，∴，由（1）所选模型③，当且时，（元）当且仅当，即时，等号成立，∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.21．已知函数，．(1)若，求函数的值域；(2)已知，且对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【正确答案】(1)；(2)当时，；当且时，.【分析】（1）由题设，令则，即可求值域.（2）令，将问题转化为在上恒成立，再应用对勾函数的性质，讨论、，分别求出的取值范围．【详解】（1）因为，设，则，因为，所以，即．当时，，当或时，，所以的值域为.（2）因为，所以，又可化成，因为，所以，所以，令，则，，依题意，时，恒成立，设，，当时，当且仅当，，故；当，时，在上单调递增，当时，，故，综上所述：当时，；当且时，.关键点点睛：应用换元法及参变分离，将问题转化为二次函数求值域，及由不等式恒成立、对勾函数的最值求参数范围.22．已知函数的图象过点．（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程在有实根，求实数的取值范围；（3）若函数，则是否存在实数，对任意，存在使成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）；（2）（3）存在，或【分析】（1）因为函数的图象过点，把点代入由即可求解.（2）关于的方程在有实根，即有实根，即函数与函数有交点，令，的值域即为实数的取值范围，（3）对任意，存在使成立，则，由单调递增，求出，令，则，即或者恒成立在上，分离参数即可求解.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，即，所以，所以，因为单调递增，所以单调递增，因为，所以，所以函数的值域为.（2）因为关于的方程在有实根，即有实根，即函数与函数有交点，令，则函数的图像与直线有交点，又

任取且，则所以，所以，所以所以所以在上是减函数，因为，所以，所以所以实数的取值范围为（3）由题意对任意，存在使成立，则，由（1）知，当时，单调递增，所以，又，令，则，所以恒成立，所以或者恒成立在上，即或者令，则在上单调递增，所以所以，即令，函数在单调递减，在单调递增，，所以所以即综上所述，存在或，对任意，存在使成立.本题主要考查求复合函数的值域、函数与方程的关系、由方程的根求参数的取值范围、绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，综合性比较强，属于难题.2023-2024学年福建省南平市高一上册期末数学质量检测模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据韦恩图所表示的集合为，按照并集和补集的运算求解即可.【详解】集合，则则图中阴影部分表示的集合是.故选：D.2.若幂函数图象过点，则（）A.1 B.2 C. D.【正确答案】C【分析】把点代入得到，再结合对数的运算，即可求得本题答案.【详解】因为幂函数图象过点，所以，得，所以.故选：C3.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断.【详解】由，得；反之，由，得.∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】D【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先判断函数单调递增，再根据零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为和都是增函数，所以在上显然单调递增，又，，根据零点存在性定理可知的零点所在的区间是，因为函数单调递增，所以有且仅有一个零点.故选：C6.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B．又，，排除C、D．故选：A．本题考查图象识别，注意从函数奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.7.若等腰三角形顶角余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由结合倍角公式求解即可.【详解】设顶角为，，则为锐角.则这个三角形底角的正弦值为.故选：B8.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】借用中间值，可比较它们的大小，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】BD【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.【详解】对于A选项，当时，满足，但是，故A不正确；对于B选项，根据不等式的性质可知准确，故B正确；对于C选项，当时，满足，但是，故C不正确；对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.函数关于对称 D.函数在上是增函数【正确答案】BC【分析】由周期得出，由点得出，再由正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因为在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，所以函数的最小正周期T满足，由此可得，解得；得函数表达式为，又因为当时取得最大值2，所以，可得，因为，所以取，得，所以，故A错误；，故B正确；令，所以函数关于对称，故C正确；令，解得，令，则其中一个单调增区间为.故D错误.故选：BC11.若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.在上单调递增 D.最小正周期【正确答案】ABD【分析】由可得函数图象关于对称，通过图象的平移判断选项A正确；由函数为奇函数结合，可得函数的周期为，判断选项D正确；由时，，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．【详解】由得函数的图象关于对称，函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故A正确；由得，所以，的最小正周期为，故D正确；当时，，因为是定义在上的奇函数，所以当时，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误.故选：ABD12.已知函数，说法正确的是（）A.在区间上单调递增B.方程在的解为，且C.的对称轴是D.若，则【正确答案】AB【分析】将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可.【详解】因为，即，所以的图象如下所示：，由图可知函数是周期为的周期函数，函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，由图可知不是函数的对称轴，故C错误；因为，所以与的交点即为所求，如图知有四个交点，且，，所以，故B正确.由图象可知若，所以，，则，，，，所以，，，故D错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13._______.【正确答案】【分析】根据指数幂与对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算性质，可得：.故答案为.14.若是第二象限角，，则___________.【正确答案】【分析】先确定属于第三象限，求出的值，然后利用公式展开，即可求得本题答案.【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，所以，所以.故15.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加________.（结果保留一位小数）参考数据.【正确答案】22.3【分析】将与代入，作差后求增长率即可【详解】当时，，当时，则，所以C大约增加了，即C大约增加了.故22.316.某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形区域，其半径为2千米，圆心角为，道路的一个顶点C在弧上.现在规划三条商业街道，要求街道与平行，交于点D，街道与垂直（垂足E在上），则街道长度最大值为___________千米.【正确答案】【分析】设，利用几何关系得出，由勾股定理得出，再由正弦函数的性质得出长度的最大值.【详解】过点作的垂线，垂足为，设，则，又，所以.在直角三角形中，，其中.因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即.综上，街道长度的最大值为千米.故四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值.（1）；（2）.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；（2）由诱导公式计算即可.【小问1详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.；【小问2详解】.18.已知集合.（1）求集合；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.【正确答案】（1），，（2）【分析】（1）解不等式求得集合,再根据并集的运算可求得.（2）根据集合与集合的关系,可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得参数a的取值范围.【小问1详解】等价于，解得，故集合.等价于，解得，故集合.所以.【小问2详解】由（1）可得集合，集合，所以.于是，由，且得，解得，即实数a的取值范围是.19.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.【正确答案】（1）最小正周期，单调递增区间是（2）时，取得最小值；时，取得最大值1【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，进而由正弦函数的性质求解；（2）由，结合正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】.所以的最小正周期.令得所以的单调递增区间是.【小问2详解】因为，所以，所以，故，所以当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值1.20.某企业拟购买一批智能机器人生产A型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本.已知购买x台机器人的总成本（万元）.（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）.已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产A型电子元件的个数Q与操作工人人数有关，且满足关系式.问在引进机器人后，需要操作工人的人数m为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值.【正确答案】（1）购买120台机器人；（2）当大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.【分析】(1)利用基本不等式即可求成本的最小值；(2)根据分段函数讨论函数的最大值即可求解.【小问1详解】由总成本，可得每台机器人的平均成本.因为.当且仅当，即时，等号成立.所以要使所购机器人的平均成本最低，应购买120台机器人.【小问2详解】当时，120台机器人的日平均生产量为，所以当时，120台机器人日平均生产量最大值为19200.当时，120台机器人日平均生产量为.所以120台机器人的日平均产量的最大值为19200个.所以当大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.21.函数定义在上的奇函数.（1）求m的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于x的不等式.【正确答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）由即可得解；（2）由定义证明单调性即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性求解即可.【小问1详解】解法1：因为为定义在上的奇函数，所以，所以，得，即.因为，所以，即.解法2：因为为定义在上的奇函数，所以.当时，，所以【小问2详解】在上单调递增.由（1）得.任取，由于，又,所以，所以在上单调递增.【小问3详解】由（2）得函数在上单调递增，且为奇函数，所以不等式等价于等价于，等价于，等价于所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集.22.已知函数且.（1）若函数有零点，求a的取值范围；（2）设函数，在（1）的条件下，若，使得，求实数m的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）函数有零点，即方程有解，则函数的图象与直线有交点，再分和两种情况讨论，即可得解；（2），使得成立，即成立，利用基本不等式求出的最小值，分离参数，从而可得出答案.【小问1详解】若函数有零点，即，即方程有解，令，则函数的图象与直线有交点，当时，，故方程无解，当时，，由方程有解可知，所以，综上，a取值范围是；【小问2详解】当时，，由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，由题意，，使得成立，即成立，所以对恒成立，设，则对恒成立，设函数，因为函数和函数在上都是减函数，所以函数在上是减函数，所以，所以，即m的取值范围是.2023-2024学年福建省南平市高一上册期末数学质量检测模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据韦恩图所表示的集合为，按照并集和补集的运算求解即可.【详解】集合，则则图中阴影部分表示的集合是.故选：D.2.若幂函数图象过点，则（）A.1 B.2 C. D.【正确答案】C【分析】把点代入得到，再结合对数的运算，即可求得本题答案.【详解】因为幂函数图象过点，所以，得，所以.故选：C3.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断.【详解】由，得；反之，由，得.∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】D【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先判断函数单调递增，再根据零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为和都是增函数，所以在上显然单调递增，又，，根据零点存在性定理可知的零点所在的区间是，因为函数单调递增，所以有且仅有一个零点.故选：C6.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B．又，，排除C、D．故选：A．本题考查图象识别，注意从函数奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.7.若等腰三角形顶角余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由结合倍角公式求解即可.【详解】设顶角为，，则为锐角.则这个三角形底角的正弦值为.故选：B8.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】借用中间值，可比较它们的大小，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】BD【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.【详解】对于A选项，当时，满足，但是，故A不正确；对于B选项，根据不等式的性质可知准确，故B正确；对于C选项，当时，满足，但是，故C不正确；对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.函数关于对称 D.函数在上是增函数【正确答案】BC【分析】由周期得出，由点得出，再由正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因为在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，所以函数的最小正周期T满足，由此可得，解得；得函数表达式为，又因为当时取得最大值2，所以，可得，因为，所以取，得，所以，故A错误；，故B正确；令，所以函数关于对称，故C正确；令，解得，令，则其中一个单调增区间为.故D错误.故选：BC11.若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.在上单调递增 D.最小正周期【正确答案】ABD【分析】由可得函数图象关于对称，通过图象的平移判断选项A正确；由函数为奇函数结合，可得函数的周期为，判断选项D正确；由时，，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．【详解】由得函数的图象关于对称，函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故A正确；由得，所以，的最小正周期为，故D正确；当时，，因为是定义在上的奇函数，所以当时，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误.故选：ABD12.已知函数，说法正确的是（）A.在区间上单调递增B.方程在的解为，且C.的对称轴是D.若，则【正确答案】AB【分析】将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可.【详解】因为，即，所以的图象如下所示：，由图可知函数是周期为的周期函数，函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，由图可知不是函数的对称轴，故C错误；因为，所以与的交点即为所求，如图知有四个交点，且，，所以，故B正确.由图象可知若，所以，，则，，，，所以，，，故D错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13._______.【正确答案】【分析】根据指数幂与对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算性质，可得：.故答案为.14.若是第二象限角，，则___________.【正确答案】【分析】先确定属于第三象限，求出的值，然后利用公式展开，即可求得本题答案.【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，所以，所以.故15.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加________.（结果保留一位小数）参考数据.【正确答案】22.3【分析】将与代入，作差后求增长率即可【详解】当时，，当时，则，所以C大约增加了，即C大约增加了.故22.316.某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形区域，其半径为2千米，圆心角为，道路的一个顶点C在弧上.现在规划三条商业街道，要求街道与平行，交于点D，街道与垂直（垂足E在上），则街道长度最大值为___________千米.【正确答案】【分析】设，利用几何关系得出，由勾股定理得出，再由正弦函数的性质得出长度的最大值.【详解】过点作的垂线，垂足为，设，则，又，所以.在直角三角形中，，其中.因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即.综上，街道长度的最大值为千米.故四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值.（1）；（2）.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；（2）由诱导公式计算即可.【小问1详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.；【小问2详解】.18.已知集合.（1）求集合；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.【正确答案】（1），，（2）【分析】（1）解不等式求得集合,再根据并集的运算可求得.（2）根据集合与集合的关