山西省晋中市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试卷

【考试时间120分钟满分150分】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间向量，，且，则实数（）A． B．-3 C． D．62．是方程表示椭圆的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知数列，则是这个数列的（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项4．设在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（）A． B．C． D．5．已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，那么（）A． B． C． D．6．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是A．1 B．2 C．3 D．47．椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．8．如图，在长方体中，，，，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．方程表示的曲线可能是（）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线10．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（）A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4C．的最小值为 D．的最小值为411．关于曲线C：x2-xy+y2=9，以下结论正确的是（）A．曲线C关于直线y=x对称B．曲线C上恰好有4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C．曲线C上的点到原点距离的最大值为D．曲线C上任意一点都不在圆x2+y2=6的内部12．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（）A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。13．已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是________________14．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________15．已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________16．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等。满足的点（）组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则:=________四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积．18．(本小题满分12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是AB、PD的中点．（1）求证：平面PCD．（2）求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，是的中点，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求的长．20．(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点．（1）将表示为的函数；（2）若，求的周长．21．(本小题满分12分)已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l交y轴于点，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由．22．（本小题满分12分）已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．1---4ABBD5---8BDDD9.ACD10.BCD11.ACD13.x+y-1=014.215.16.17.（1）；（2）．（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，所以，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为．（2）因为点在第二象限，，在中，由．根据余弦定理得，即，解得，所以．18．（1）∵，为中点，∴.∵平面,又平面.∴.∵,,∴平面.∵平面.∴.∵，∴平面.（2）取的中点,连接、，则∥，.又∥，，∴∥，.∴四边形为平行四边形.∴∥，由（1）平面，∴平面，为三棱锥的高.又，..得三棱锥的体积.19.（1）证明：设与的交点为，连接，因是的中点，侧面是菱形，即为的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）连接，因为，，，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，即，由于，，，所以平面，所以，且.在中，，，所以，在中，，所以，在中，，所以.20.（1），；（2）.（1），整理得，则，，其中；（2）由，则，解得，经检验，此时，所以，由抛物线的定义，有，又，所以的周长为．21.解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，因为直线过双曲线：的右焦点，所以，即，所以，即.所以双曲线C的方程.（2）由题知，设，，，因为，，所以，，所以，，所以直线与双曲线：联立方程得：，所以，且，即，所以，所以，所以当变化时，探究的值是定值，为.22.（1）；（2