专题09圆的综合练习-备战2022-2023学年九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）（解析版）

专题09圆的综合练习一．选择题（共4小题）1．（2021秋•海陵区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC=3BCA．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【分析】连接OC，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC＝45°，再根据圆周角定理可得∠BAC的大小．【解答】解：如图，连接OC，∵AC=3BC∴∠AOC＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°×14∴∠BAC=12∠BOC＝22故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC＝45°是解题关键．2．（2021秋•高邮市期末）如图，已知OB，OD是⊙O的半径，BC、CD、DA是⊙O的弦，连接AB，若∠BOD＝100°，则∠BCD度数为（）A．100° B．120° C．130° D．140°【分析】先根据圆周角定理得到∠BAD＝50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BOD和∠BAD都对BD，∴∠BAD=12∠BOD=12∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．3．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．【解答】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．4．（2021秋•泰兴市期末）如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（）A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2【分析】过O点作OE⊥CD于E，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，则DP＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，所以PC2+PD2＝2CE2+2PE2，利用勾股定理得到PC2+PD2＝40﹣4OE2，当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为24cm2．【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，如图，则CE＝DE，∵P点为OA的中点，AB＝8，∴OP＝2，OC＝4，∵DP＝DE﹣PE＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，∴PC2+PD2＝（CE+PE）2+（CE﹣PE）2＝2CE2+2PE2＝2（OC2﹣OE2）+2（OP2﹣OE2）＝2OC2+2OP2﹣4OE2＝2×42+2×22﹣4OE2＝40﹣4OE2，当OE最大时，PC2+PD2有最小值，∴当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为40﹣4×22＝24（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．二．填空题（共4小题）5．（2022春•兴化市期末）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是110°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠ADC＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2021秋•淮安区期末）已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是4．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，底面半径是2，则底面周长＝4π，侧面积＝2πR＝8π，∴R＝4．故答案为：4．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．熟记公式是解答本题的关键，难度不大．7．（2021秋•仪征市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O的圆心在AB边上，且分别与AC、BC相切于点D、B，若AB＝3cm，AC＝5cm，则⊙O的半径为43cm【分析】连接OD，根据勾股定理求出BC，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，证明△AOD∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为rcm，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，则BC=AC2-A∵AC为⊙O的切线，∴∠ADO＝90°＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OAAC=OD解得：r=4故答案为：43【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．（2021秋•海陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于点E，若CD＝6cm，∠BAC＝15°，则⊙O的半径等于6cm．【分析】连接AD，OC，OD．证明△OCD是等边三角形，可得结论．【解答】解：连接AD，OC，OD．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CB=∴∠CAB＝∠DAB＝15°，∴∠CAD＝30°，∵∠COD＝2∠CAD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD＝6（cm），故答案为：6．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△COD是等边三角形．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•江都区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直线l与⊙O相切于点A，则∠OCD＝∠OAD＝90°，可证得直线DC是⊙O的切线；（2）先证明△BOC是等边三角形，则OC＝BC＝4，再根据勾股定理求出CE的长，由S阴影＝S△COE﹣S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCA+∠OCA＝∠DAC+∠OAC，∴∠OCD＝∠OAD，∵直线l与⊙O相切于点A，∴直线l⊥OA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，∴直线DC是⊙O的切线.（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝2×4＝8，∴CE=OE2∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB=12×43×4-60360×π【点评】此题考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10．（2021秋•海州区期末）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．【分析】（1）连接OB，先由AC是⊙O的直径证明∠ABC＝90°，再由OB＝OA证明∠OBA＝∠OAB，而∠PBA＝∠C，则∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠C+OAB＝90°，即可证明PB是⊙O的切线；（2）设OP交AB于点D，先证明△DOB∽△BOP，根据相似三角形的对应边成比例求出OD的长，再证明△ADO∽△ABC，可得BC＝2DO，即可求出BC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠C+OAB＝90°，∴OB是⊙O的半径，∵PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：如图，设OP交AB于点D，∵OP∥BC，∴∠ODB＝180°﹣∠ABC＝90°，∵∠OBP＝90°，∴∠ODB＝∠OBP，∵∠DOB＝∠BOP，∴△DOB∽△BOP，∴ODOB∵OB＝3，OP＝8，∴OD=O即DO=9∵OD∥BC，∴△ADO∽△ABC，∴DOBC∴BC＝2DO＝2×9∴BC的长为94【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．11．（2021秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥DB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点的⊙O与BC交于点F．（1）求证AC是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据垂直的定义得到∠EDB＝90°，根据角平分线的定义得到∠OBD＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝∠ODB，根据平行线的性质得到∠ADO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）解根据平行线的性质得到∠AOD＝∠ABC，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥DB，∴∠EDB＝90°，∴BE是直径，点O是BE的中点，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠DBC，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBC＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AC，∵AC经过⊙O的外端点，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠ABC，∵∠AOD＝∠ABC，∠OAD＝∠BAC，∴△AOD∽△ABC，∴AOAB∵BC＝3，AC＝4，∴AB=AC设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OA＝5﹣r，∴5-r∴r=15∴⊙O的半径为158【点评】本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角函数、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．12．（2021秋•启东市期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代换得到结论；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB=233，然后证明∠D＝∠CBD＝30°得到CD【解答】（1）证明：∵DB是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CB=33AC∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD=2【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2cm，CD＝8cm，则⊙O半径为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm【分析】设⊙O半径为Rcm，则OE＝（R﹣2）cm，根据垂径定理得出CE＝DE＝4cm，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入求出答案即可．【解答】解：设⊙O半径为Rcm，则OE＝（R﹣2）cm，OC＝Rcm，∵AB⊥CD，CD＝8cm，AB过圆心O，∴CE＝DE＝4cm，∠OEC＝90°，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，∴R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即⊙O的半径为5cm，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．2．（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（）A．144π B．256π C．400π D．441π【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，即这个花坛的面积为400π．故选：C．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．3．（2022秋•洪泽区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A．(3，1) B．(-3，1【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=23，所以A（-23，0），B（0，【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝∴OA=3OB∴A（-23，0），B（0，∴D点坐标为（-3，1故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．4．（2022秋•宿豫区期中）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．【解答】解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=∴OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正确；如图，连接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正确．∴一定正确的①②③④，共4个．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．二．填空题（共4小题）5．（2022秋•鼓楼区期中）如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD＝ED，CD∥AE，∠ABC＝140°，则∠D＝100°．【分析】利用圆内四边形的性质求出∠AEC，再根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接CE，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，又∵∠ABC＝140°，∴∠AEC＝180°﹣140°＝40°，∵CD∥AE，∴∠AEC＝∠DCE＝40°，∵CD＝ED，∴∠CDE＝∠CED＝40°，∴∠D＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，掌握圆内四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．6．（2022秋•盐都区期中）如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是8．【分析】利用勾股定理求出BC＝13，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的周长．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC=AC∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的周长是2×4＝8．故阴影部分的周长是：8．故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．7．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC﹣AB的值2，CD+DF的值5．【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OG＝DG，根据全等三角形的性质得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，推出⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b﹣c），根据勾股定理得到BC+AB＝23+4，再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+3-1﹣x，OF＝x，ON＝1+3-【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，∠OMG=∴△OMG≌△GCD（AAS），∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2；设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b﹣∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得a1＝1-3（舍去），a2＝1+∴BC+AB＝23+4∴AB＝1+3，BC＝3+再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+3-1﹣x，OF＝x，ON＝1+由勾股定理可得（2+3-x）2+（3）2＝x解得x＝4-3∴CD+DF=3+1+4-故答案为：2，5．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．8．（2022秋•盐都区月考）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如图（1），在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2＝2（AD2+BD2）．【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如图（2），点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD＝90，若AB＝8，当△EPB面积最大时，则CD的长为42．【分析】连接OC、OD、OE，取OP的中点H，连接EH，由根据直角三角形的性质得PE=12CD，在△OPE中，由三角形中线长公式，得2（EH2+OH2）＝OE2+PE2，在△OCD中，由三角形中线长公式，得2（OE2+CE2）＝OC2+OD2，两式结合便可求得EH=7，则点E在以H为圆心，7为半径的⊙H上运动，当EH为△EPB的高时，△EPB的面积最大，此时EH⊥AB，由勾股定理求得OE【解答】解：连接OC、OD、OE，取OP的中点H，连接EH，∵∠CPD＝90°，E为CD的中点，∴PE＝DE＝CE=1∵AB＝8，∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∵P是OB的中点，∴OP＝BP=12∴OH＝1，在△OPE中，由三角形中线长公式，得2（EH2+OH2）＝OE2+PE2，即2（EH2+1）＝OE2+PE2在△OCD中，由三角形中线长公式，得2（OE2+CE2）＝OC2+OD2，即2（OE2+PE2）＝42+42＝32，也即OE2+PE2＝16，∴2（EH2+1）＝16，∴EH=7∴点E在以H为圆心，7为半径的⊙H上运动，当EH为△EPB的高时，△EPB的面积最大，此时EH⊥AB，∴OE=E∵点E是CD的中点，∴OE⊥CD，CD＝2DE，∴CD＝2DE＝2OD故答案为：42．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线长公式，圆的性质，关键是确定P与M重合时△EPB的面积最大．难度极大．三．解答题（共4小题）9．（2022秋•盐都区期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AE＝8，∠A＝30°，求图中由BD、BE、DE围成阴影部分面积．【分析】（1）连接OD，DE，求出∠ADE＝90°＝∠C，由余角的性质求出∠EDB＝∠CBD＝∠A，根据∠A+∠OED＝90°，求出∠EDB+∠ODE＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）分别求出扇形DOE和△ODB的面积，即可求出答案．【解答】解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∵∠A＝∠CBD，∴∠A+∠CDB＝90°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∴∠ADO+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，∴OD⊥BD，∵OD为半径，∴BD是⊙O切线；（2）解：∵AE是⊙O直径，∴∠ADE＝90°，∵AE＝8，∠A＝30°，∴DE=12AE＝4，∠AED＝∵OD＝OE，∴△DOE是等边三角形，∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝4，∵∠ODB＝90°，∴∠EDB＝30°，∴∠B＝∠DEO﹣∠EDB＝60°﹣30°＝30°，∴OB＝2OD＝8，由勾股定理得：DB=82-∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOE=12×4×43-【点评】本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，扇形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．10．（2022秋•海陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．（1）连结AF、BD，求证四边形AFDB为矩形．（2）若CF=5，CD=【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明即可．（2）阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．【解答】（1）证明：连接AF、BE，∵AC是直径，∴∠AFC＝90°．∵BC是直径，∴∠CDB＝90°．∵DF∥AB，∴∠ABD+∠D＝180°，∴∠ABD＝∠D＝∠F＝90°，∴四边形ABDF是矩形；（2）解：∵四边形ABDF是矩形，∴AF＝BD，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠F＝∠D＝90°，∴∠ACF+∠BCD＝90°，∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠ACF＝∠CBD，∴△AFC∽△CDB，∴AFCD∴AF＝BD＝25，∴AC=CF2+AF2∴S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积=12π（AC2）2+12π（BC2）2+12AC=12π（AC）2+18π（BC）2-18π（AB=18π（AC2+BC2﹣AB2）+1=12AC=12×＝25．【点评】此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．11．（2022秋•镇江期中）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．（1）当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；（2）直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．【分析】（1）如图1，取AB的中点G，作GF⊥AB交DC的延长线于F，交BC于E，则点O在线段FG上，连接OB，则OB＝OF＝r，利用切线性质可得∠EFC＝90°，再运用勾股定理得出：OG=r2-4，EG＝23，EF＝23，FG＝43，由OG+（2）分三种情况：⊙O与▱ABCD的边有2个公共点时，⊙O与▱ABCD的边有3个公共点时，⊙O与▱ABCD的边有4个公共点时，分别画出图形，求出BP的范围．【解答】解：（1）如图1，取AB的中点G，作GF⊥AB交DC的延长线于F，交BC于E，则点O在线段FG上，∴BG=12AB=12连接OB，则OB＝OF＝r，在Rt△OBG中，OG=O∵∠ABC＝60°，∴∠BEG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BG＝4，∴EG=BE2∴EC＝BC﹣BE＝8﹣4＝4，∵DC与⊙O相切，∴∠EFC＝90°，∵∠CEF＝∠BEG＝30°，∴CF=12EC＝∴EF=EC2∴FG＝EF+EG＝23+23=4∵OG+OF＝FG，∴r2-4+r解得：r=13∴⊙O的半径为133（2）当AD与⊙O相切时，如图2，连接AO交BC于H，∵四边形A