函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数函数y=f(x)在给定区间G=（a，b）上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间一、复习引入函数单调性的判定：单调函数的图像特征：

我们用定义法来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)的大小,而在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.这节课我们将学习函数的单调性与导数的关系，利用导数来判断函数的单调性相对来说就比较简单.观察:

下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

发现：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;

如果,那么函数在这个区间内单调递减.例1已知导函数的下列信息:当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:

当1<x<4时,可知在此区间内单调递增;

当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;

当x=4,或x=1时,

综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以

当,即时,函数单调递增;

当,即时,函数单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）归纳：2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论

例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);

反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.练习1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状练习3.讨论二次函数的单调区间.解:

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是练习4.求证:函数在内是减函数.解:

由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.小结＊

用导数求函数的单调区间：（1）求