平行线的判定

平行线的性质与判定本节内容3.5——3.5.2

平行线的判定

观察图3-65中的a，b两条直线是否平行，然后任意画一条截线，量一量它的一对同位角，看看你的观察结果是否正确.观察图3-65

我们已经知道：如果两直线平行，那么同位角相等.反过来，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行吗？图3-65

如图3-66(a)所示，两条直线AB，CD被第三条直线EF所截，一对同位角∠α与∠β相等.

过点N作直线l平行于AB，则∠β′=∠α，如图3-66(b)所示，由于∠α=∠β，因此∠β′=∠β.

从而l与CD重合.因此CD∥AB.图3-66(a)图3-66(b)结论判定方法Ⅰ

两直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行.

结论同位角相等，两直线平行.判定方法Ⅰ也可以简单地写成：举例例2如图3-67，已知∠1+∠2=180°，

AB与CD平行吗？为什么？解因为∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角，所以∠2=∠3.

从而AB∥CD

(同位角相等，两直线平行).

图3-67例3如图3-68，已知∠1=∠2，说明为什么∠4=∠5.解因为∠1=∠2(已知条件)，∠2=∠3(对顶角相等)．所以∠1=∠3.

从而a∥b

(同位角相等，两直线平行).

因此∠4=∠5

(两直线平行，同位角相等).

图3-68练习1.图3-69，木工用角尺的一边紧靠工件边缘，另一边画两条直线a，b.这两条直线平行吗？为什么？答：a∥b，

因为有一对同位角都是直角.图3-692.我们知道平行线有传递性，也可以通过平行线

的判定方法Ⅰ说明它的道理.

如图3-70，已知三直线a，b，c，如果a∥b，

b∥c，那么a∥c.

请你在括号中填上理由：

因为a∥b，b∥c，

所以∠1=∠2，

∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)，

因此∠1=∠3.

从而a∥c(

).

同位角相等，两直线平行图3-70动脑筋

前面我们学习了两条直线平行的判定方法Ⅰ，还有别的判定两直线平行的方法吗？

内错角相等行吗？同旁内角互补行吗？

我们知道，两直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等或者一对同旁内角互补，那么必有同位角相等.

因此由判定方法Ⅰ可知，这两条直线平行.

从而得出判定两直线平行的另外两个方法：结论判定方法Ⅱ

两直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么这两条直线平行.结论判定方法Ⅲ

两直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么这两条直线平行.判定方法Ⅱ、Ⅲ也可以简单地写成结论内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行做一做

用纸剪两个相同的三角形ABC和

，按照图3-71所示，拼接成一个图形.

试问：吗？为什么？答：利用判定方法Ⅲ，知同理有图3-71例4如图3-72，已知AB∥CD，∠ABC=∠ADC.

问AD∥BC吗？解因为AB∥CD(已知条件)，

所以∠1=∠2

(两直线平行，内错角相等).

又因为∠ABC=∠ADC(已知)，

所以∠ABC-∠1=∠ADC-∠2.

即∠3=∠4.

所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行).图3-72练习1.如图3-73，点A在直线l上，如果∠B=75°，

∠C=43°，则（1）当∠1=

时，直线l∥BC；（2）当∠2=

时，直线l∥BC；（3）若

l∥BC，

∠BAC=

.

75°43°图3-732.如图3-74，指出一个能推出AB∥CD的条件，并说明理由．答：如∠ACD=∠BAC.

或∠ADC+∠BAD=180°等等.图3-743.设计一种方法，检查你的数学课本左、右两边，以及上、下两边是否平行？答：利用平行线的各种判定方法.中考试题例1

如图1所示，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）.A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°B图1解析答案A，∠1与∠3是内错角，根据内错角相等，两条直线平行，可判断直线a∥b，所以A正确；答案B，∠2与∠3在位置上没有关系，即它们不是内错角，也不是同位角，所以不能判断直线a∥