2023-2024学年贵州省遵义市高三上学期第一次质量监测数学试题及答案

遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax,y∣yx2,Bx,y∣yxAB1.若集合，则（）A.4,11,4B.D.C.12.若复数z满足z1i2）z，则复数的虚部是（155212iA.B.iC.D.22a,,x3.已知均为实数，下列不等式恒成立的是（）A.若ab，则a2024b202420242024B.若ab，则abC.若ax2024bx2024，则abD.若ab，则ax2024bx2024ππ1，则sin（4.若）434132232213A.B.C.D.35.若函数fxex2ax在区间3上单调递增，则的可能取值为（）a第1页/共7页A.2B.3C.4D.56.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10;8年以上有种半衰期在万年以1上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式cka(k,a为大c/Ltt11ac时,t10c时,t20.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓于0的常数且.若;若6121c度为352.32时,大约需要（:）22A.43年B.53年C.73年D.120年5fxsinx7.将函数π1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移212ππ8个单位长度，得到函数的图象；则（）gxg2462622626A.B.C.D.44448.若ab1c1.1，则a,b,c的大小关系为（）A.bacC.cbaB.acbD.abc､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（A.若sinsin，则B.若角）与是终边相同的角45Pk,4kk的终边过点，则sin0C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若sin，则角终边在第一象限或第三象限0的11满足：当时，.下列关于函数的xfxnxnfxnnZfx10.对于任意实数，函数22叙述正确的是（）f20232023A.第2页/共7页B.是奇函数fxxR,fx22fxfxyfxfy，使得Cx,yRD.ab0，且ab111.已知，则下列选项正确的是（）111ab526A.B.D..24ab6306C.ab的最大值为ab6cosnxTcosxn，称为第一类切比雪夫n12.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：TxTxx,Tx2x2Tx4x33x,Tx8x48x2Tx16x520x35x,501234，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A.cos3x3xxB.Tx32x648x18x142652C.451D.4､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.p:0R,00m302p,则命题的否定为__________.13.命题x,x112fx14.若函数的解集为__________.fx2，则不等式x1,x12x22y2215.已知双曲线C:ab0)的左焦点为Fc,0，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一1abPF1cPOc，则双曲线C的离心率为__________.点P满足，且x1,x0fx16.已知函数ex2f2xafx0a恰有一个整数解，则实数的x，若关于的不等式xx,x0第3页/共7页取值范围为__________.､四解答题：本题共小题，共670.､分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.π2fxAsinxA0,17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；fxπ3yf2xmx,x12xx，求的值.12（2）若函数在区间上恰有两个零点的前项和为1，且当时，n1a2.nanSn,1n22Sn18.已知数列n（1）求数列的通项公式；an2（2）若数列满足：bn，求b的前项和nbnT.nn1nn19.函数fxax33xa0，其一条切线的方程为y9x16.a（1）求gxfx（2）令26xk0)gx有两个不同的极值点1,2，若，且，求实数的取值范围.gxgx2k12n20.某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：[0,2],(2,4],(4,6],(6,，并整理得到如下的频率分布直方图：第4页/共7页n(adbc)22K附：.abcdacbd0.10.050.0100.0050001PKk02k02.7063.8416.6357.87910.828（1（2）将一周使用手机上网时间在4,12内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在0,4内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有0.25n名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有99.9%以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计0.15n0.25n21.已知Fc,0,Fc,0为椭圆的两个焦点，A为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1F的2EE､12周长为6，面积的最大值为3：（1）求椭圆Ey（2）直线AF1与椭圆E的另一交点为B，与轴的交点为M.若AF，BF.试问：11121是否为定值？并说明理由.2第5页/共7页sinxfx22.已知函数.ex（1）求函数在3上的单调区间；fx（2）若x0时，fxax1，求实数a的取值范围.第6页/共7页遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax,y∣yx2,Bx,y∣yxAB1.若集合，则（）A.4,11,4B.D.C.1【答案】A【解析】【分析】结合交集的运算可得.2x1x2yxAB.1,4【详解】由，解得：或y4，故yx2y1故选：A2.若复数z满足z1i2）z，则复数的虚部是（152512iA.B.iC.D.22【答案】C【解析】1z【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.221i21i1i1i221z【详解】，22第1页/共21页52z故复数的虚部是.故选：Ca,,x3.已知均为实数，下列不等式恒成立的是（）A.若ab，则a2024b202420242024B.若ab，则abC.若ax2024bx2024，则abD.若ab，则ax2024bx2024【答案】C【解析】【分析】结合特殊值与不等式的性质可求.ab1时，(2)20242024【详解】A，当，A错误；2024B，当a0时，没意义，B错误；aC，由ax2024bx2024，知x0，所以ab，C正确；D，当x0时，ax2024bx2024不成立，D错误.故选：Cπ41，则sinπ4（4.若）3132232213D.AB.C.3【答案】C【解析】π【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.4π4ππ24π41.【详解】由题意可得：sinsin3故选：C.5.若函数fxex2ax在区间3）a上单调递增，则的可能取值为（A.2B.3C.4D.5第2页/共21页【答案】A【解析】x2axxa，结合题意a2x3在【分析】由f(x)e2上恒成立求范围，即可判断所能取的值.【详解】由题设fxex2ax在区间3上单调递增，所以f(x)ex2ax2xa0恒成立，所以上2xa01,3a2x恒成立，即恒成立，y2x1,3上递增，故在而a2.所以A符合要求.故选：A6.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10;8年以上有种半衰期在万年以1上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式cka(k,a为大c/Ltt11ac时,t10c时,t20.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓于0的常数且.若;若6121c度为352.32时,大约需要（:）22A.43年【答案】B【解析】B.53年C.73年D.120年1k10ka20161a,kc,的值,当时在等式两边取对数即可求解.,【分析】根据已知条件得解方程组求出120121110121k10ka20a61【详解】由题意得:,解得,k123t113210所以c,tt111111c1010当时,得,即,21201203240第3页/共21页t1403532.325.32,22两边取对数得121040所以t5.321053.2,1c即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要53年.故选:B.5fxsinx7.将函数π1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移212ππ8个单位长度，得到函数的图象；则（）gxg2462622626A.B.C.D.4444【答案】B【解析】【分析】由图象的变换法则得出，再由和角公式求解.gxgxsin2xπ5π【详解】由题意可知，sin2x，32412πππ43ππππ212362gsinsinsin.8434322224故选：B8.若ab1c1.1，则a,b,c的大小关系为（）A.bacC.cba【答案】D【解析】B.acbD.abcfxxx1gxxx1；构建，bc【分析】构建函数，结合导数可得π2，结合导数可得，进而可得hxxxtanx1x,xab.112xfxxx1fxx1,2当时恒成立，【详解】令，则0x2x2x第4页/共21页则在内单调递增，可得，2f1.1f1fx即ln1.11.110，可得1ln1.11.1，故bc；1x1π2令gxxx1gxx10时恒成立，，则当xxππ2则在，所以，gxgxg10x1x,x内单调递增，可得2π2令hxxxhxtanx02x当，则时恒成立，π2π2则在，所以hxh0，hx0xx,x内单调递增，可得πtanx1x,x可得，所以tan1.11ln1.1，故ab；2综上所述：abc.故选：D.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（A.若sinsin，则B.若角）与是终边相同的角45Pk,4kk的终边过点，则sin0C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若sin，则角的终边在第一象限或第三象限0【答案】CD【解析】【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sin与cos同号第5页/共21页判断D.【详解】对于A：当时，sinsin，但终边不同，故A错误；45|k|，当k0时，sin对于B：rk)2(4k)2，故B错误；5l对于C：由2rlr1，得l1，故C正确；rcos同号，则角对于D：sincos0，即sin与的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD11满足：当时，.下列关于函数的xfxnxnfxnnZfx10.对于任意实数，函数22叙述正确的是（）f20232023A.B.是奇函数fxxR,fx22fxC.D.x,yRfxyfxfy，使得【答案】ACD【解析】【分析】结合题中定义和特殊值即可.11202320232023f20232023，A正确；【详解】A，根据定义，，所以，221120.5，00.50f(0，B，取x21121x，10.51f(0.5)1，不满足奇函数的定义，错误；取，B21xR,nxn,f(x)nC，，22112,fx2n2fxn2x2n22，C正确；则2D，当xy1时，f0f0f，正确D.故选：ACDab0，且ab111.已知，则下列选项正确的是（）111ab526.A.B.24ab第6页/共21页6306C.ab的最大值为D.ab6【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.1【详解】由题意可得ab126ab124abab，241当且仅当ab时取得等号，即A正确；21111abbaab5526，abab当且仅当ab32时取得等号，即B正确；ny2m2n2x2y2先证柯西不等式，p,n,qx,y,p,q设，则pqny,pp2m2n2,q2q2x2y，22222cos222nym22n2x2y2pqpqpq所以，2223222abab由柯西不等式可知：32556306abab，63265bab9a时取得等号，即D正确；当且仅当，即322.9466a，则bab0.49若，此时，故C错误.6故选：ABDcosnxTcosxn，称为第一类切比雪夫n12.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：TxTxx,Tx2x2Tx4x33x,Tx8x48x2Tx16x520x35x,501234，探究上述多项式，下列选项正确的是（）第7页/共21页A.cos3x3xxB.Tx32x648x18x142652C.451D.4【答案】ABD【解析】n3时，Tx2n1xT，即可判断xn2【分析】利用三角恒等变换即可判断A，据题意总结出B，利用二倍角公式、三角恒等变换即可判断选项CD.ncos3x2xxcos2xxsin2sinx【详解】对于A，2cos22x1xxsinx2x1x212xx3xx.A正确；xn2x，n3时，Tx2n1对于B，归纳可得n所以Tx32x648x418x1，B正确；26因为sin3654，所以2sin18cos184cos3183cos18，即41823，即10，251解得，C错；451有上述知，451则cos361218，D正确.4故选：ABD､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.p:0R,00m302p,则命题的否定为__________.13.命题第8页/共21页【答案】xR,xm302【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.p:0R,00m302【详解】因为命题,p2所以命题的否定为:xR,xm30.故答案为:xR,x2m30.x,x112fx14.若函数fx，则不等式的解集为__________.2x1,x121【答案】4【解析】【分析】分x1和x1两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.【详解】因为fx2，则有：1414x20x当x1时，可得，解得；1212当x1时，可得2x1x11，解得x22，则；1综上所述：不等式fx2.的解集为41.故答案为：4x22y2215.已知双曲线C:ab0)的左焦点为Fc,0，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一1abPF1cPOc，则双曲线C的离心率为__________.点P满足，且【答案】31【解析】【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.c|FO|FO|PFO,PFO，1122【详解】如图，因为，所以12第9页/共21页πOPFOPFFPF所以，12122则|PF1|2|2|2|FF|2c2(c2a)24c2，122c24ac4a20，e22e20，解得e31.故答案为：31x1,x0fx16.已知函数exf2xafx0a恰有一个整数解，则实数的x，若关于x2x,x0取值范围为__________.1e2,2e3【答案】【解析】【分析】由导数得出函数的图像，讨论与0的关系，结合图像得出实数的取值范围.fxaax1'exxxx1efx0，【详解】当x0时，xe2exex即函数在上单调递增fx,0f32e3,f2e2,ff0f1f22函数的图像如下图所示：fx第10页/共21页xafx0f2由得出当a0时，显然不成立.，fxfxa0a0af(x)02eae2.3但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时x2，即e2a2e3时，唯一整数解是当0时，0f(x)a，使得不等式只有唯一整数解，此时1a2，即2a1时，唯一整数解是x0.a1e2,2e3综上，.1e2,2e3故答案为：､四解答题：本题共小题，共670.､分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.π2fxAsinxA0,17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；fxπ3yf2xmx,xxx，求的值.12（2）若函数在区间上恰有两个零点12π3fx2x【答案】（1）5πxx（2）1212【解析】31）结合五点法作图，由周期得，结合最值点可得，代入点的坐标得A，即可得函数解析式；π3π3（2）由题意知ym的图象有两个不同交点，作出函数gx在gxf2x,xy和第11页/共21页xx上的图象，结合函数的对称性可得的值．12【小问1详解】2πT2πππ设fx的最小正周期为T，则，可得Tπ,2362且0，解得2，2ππ由图象可知：当36时，取到最大值，fx5πx2125π125π6A05πfAsinA且，则，ππ2π,kZ2π,kZ，可得，解得623ππππ3又因为，可得，则，A0k0,fxAsin2x223πf0Asin3且的图象过点，则fx3πA3，解得A2，32所以fx2x.3【小问2详解】π3gxf2x2sin4x令，yf2xm0f2xm，由，可得yf2xmygx与ym的图象交点横坐标，可知的零点等价于πg02sin5π24ππ3且3,g2sing2sinπ0，32πygx在xx，如图所示：12作出内的图象，不妨设3第12页/共21页5π5π5π0m2x,gx,x,gxxxx2对称，所以1由图象可知：，且关于直线.11222242412的前项和为1，且当时，n1a2.nanSn,1n22Sn18.已知数列n（1）求数列的通项公式；an2（2）若数列满足：bn，求b的前项和nbnT.nn1nnn1a【答案】（1）n2n,n231n1Tn（2）2【解析】aSn2和n3两种情况运算求解；，利用裂项相消法运算求解.1）根据与之间的关系，分nnn1bn（2）由（1）可得【小问1详解】11,n2nn1因为当n2时，2Snn1a2，且a11，nn22Saa2132a4，解得，2若若，则222n3，则2Sn1nan12，nnn1n12an1ana两式相减可得：，整理得，nnn1nnn1n1222a，可得n2n即；可知n1不符合上式，n2符合上式，n1a所以.n2n,n2第13页/共21页【小问2详解】n12b111n1由（1）可得：当n1时，则，nn1n,n2nn1nTb；n111111233411321n1当n2时，则Tbbbb1；n123nnn1321n1可知n1符合上式，所以Tn.19.函数fxax33xa0，其一条切线的方程为y9x16.a（1）求的值；gxfx（2）令26xk0)有两个不同的极值点gx1,2，且，若，求实数的取值范围.gxgx2k126【答案】（1）1（2）k2【解析】1）求导，设切点为,am3m2，a1；，从而得到方程组，求出m210的两根，由4k40得到k1，得到两根之和，两根之2（2）求导，得到x,x为x212gxgx4k积，计算出3g1g26k2计算出不等式解集，得到实数的取值，由2k12范围.【小问1详解】fxax23,am3my9x16处的切线的方程为，，设函数在切点则am解得m239，9m16amm3，4a1；2，m2【小问2详解】由（1）可知，gxx33xk0)，2gx3x2633x22x,x为x2210的两根，，即124k240，解得k1或k1故第14页/共21页且122k,121，31x3221x222gxgxxkx3xx1212xx33xxxxkxx221x3x2x121212122128k36kk4k226k24k6k2，3gxgx2由可得4k6k22，即4k6k0，3312因为k1，所以4k26，66解得kk或226综上：k2n20.某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：[0,2],(2,4],(4,6],(6,，并整理得到如下的频率分布直方图：n(adbc)22K附：.abcdacbd0.10.050.0100.0050.001PKk02k02.7063.8416.6357.87910.828（1（2）将一周使用手机上网时间在4,12内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在0,4内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有0.25n名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网第15页/共21页时间与近视程度的列联表，若有99.9%以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计0.15n0.25n【答案】（1）5.8小时（2）列联表见解析，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关【解析】1）利用平均数公式求解；（2）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；【小问1详解】解：根据频率分布直方图得：x10.025230.100250.150270.125290.0752110.0252=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8【小问2详解】小时；根据题意填写22列联表如下，近视不近视合计n0.10n0.10n0.15n0.75n0.25n0.75n0.25nn长时间使用手机不长时间使用手机合计n(adbc)2100(65151010)2K221.7810.828，由表中数据，计算abcdacbd75257525所以有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．21.已知Fc,0,Fc,0为椭圆的两个焦点，A为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1F的2EE､12周长为6，面积的最大值为3：第16页/共21页（1）求椭圆E的方程；y（2）直线AF1与椭圆E的另一交点为B，与轴的交点为M.若AF，BF.试问：11121是否为定值？并说明理由.2x2y21【答案】（1）438（2），理由见解析3【解析】1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解.【小问1详解】x22y221ab0，则设椭圆E的方程为ab由椭圆的定义及△F的周长为6，知2a2c6①，12由于A为椭圆E上异于左､右顶点的任意一点，得A到x轴距离最大为b因为△F的面积的最大值为3，，1212所以S122cb3②，a2b2c2③，又联立①②③，得acb3，x2y2所以椭圆E的方程为1.43【小问2详解】81为定值，理由如下：23根据已知条件作出图形如图所示,第17页/共21页1Ax,y,Bx,y,l:x1m0设，则M1122，mFAB与椭圆一定有两交点，因为在椭圆内部，则直线122xy1m24y690，3y消去得：2联立4x16m9m