山西省同煤一中联盟校2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题含解析

山西省同煤一中联盟校2023-2024学年数学高二上期末复习检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.2．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（）A. B.C. D.3．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.4．已知数列满足，其前项和为，，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为（）A.10 B.11C.12 D.135．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.或C.或 D.或6．若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（）A.相交 B.相切C.相离 D.不确定7．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.18．经过点的直线的倾斜角为，则A. B.C. D.9．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）A.的焦距为 B.的渐近线方程为C.的离心率为 D.的虚轴长为10．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A. B.C. D.12．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（）A.7 B.10C.12 D.14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列的前n项和分别为，若对任意正整数n都有，则的值为___________.14．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.15．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________16．已知函数，则_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.19．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O为底面正方形ABCD对角线的交点，E为PD的中点，且PA=AD.（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求直线BD与平面EAC所成角的正弦值.20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，三个顶点（左、右顶点和上顶点）构成的三角形的面积为，离心率为方程的根.（1）求椭圆方程；（2）椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，如图，若这个平行四边形面积为，求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.21．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是，的等比中项，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1，故选：B.2、A【解析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率【详解】：由题意设相应的渐近线：，则根据直线的斜率为，则的方程为，联立双曲线渐近线方程求出，则，，则的中点，把中点坐标代入双曲线方程中，即，整理得，即，求得，即离心率为，故答案为：3、A【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A4、A【解析】根据题意和对数的运算公式可证得为以2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而得到，利用裂项相消法求得，再解不等式即可.【详解】由，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，则，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值为10.故选：A5、B【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.【详解】根据题意，可得，所以椭圆的标准方程为或.故选：B6、B【解析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线，因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径，所以动圆与直线相切.故选：B7、B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B8、A【解析】由题意，得，解得；故选A考点：直线的倾斜角与斜率9、D【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】方程表示双曲线，则，成等比数列，则，所以双曲线方程为，所以，故双曲线的焦距为，A选项错误.渐近线方程为，B选项错误.离心率，C选项错误.虚轴长，D选项正确.故选：D10、D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.11、B【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、A【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.【详解】因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.68【解析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.【详解】由题意得：，同理可得：，所以故答案为：14、【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.【详解】直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即，联立，解得，即的外心为，所以，的外接圆的半径为，因此，的外接圆方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式15、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：16、【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得的通项公式.（2）利用公式法可求数列的前项和.【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴，.（2）设等比数列的公比为，，∴解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件①和条件③：（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴.（2），设等比数列的公比为，.∴，解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件②和条件③：（1）设等比数列的公比为，，∴，解得，，.设等差数列的公差为，∴，又，故.∴.（2）设数列的前项和为，由（1）可知.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题18、（1）（2）（i）答案见解析（ii）或【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.【小问1详解】由题意可知,∵,且,∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，即，，，则点的轨迹方程为；【小问2详解】（i）设点，，直线的方程为，联立得，其中，且，，，∵曲线上一点，∴，由已知条件得直线和直线关于对称，则，即，整理得，，，，即，则或，当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，故直线的斜率为定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，当时，，，即，，，解得或，但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，当时，，即，，，解得（舍去）或，当时，直线方程为,故直线的方程为或.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用线面平行的判断定理，证明线线平行，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小问1详解】连结EO，由题意可得O为BD的中点，又E是PD的中点，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小问2详解】如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，设平面EAC的法向量为=(x，y，z)，则，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一个法向量为=(-1，1，-1)，∴设直线BD与平面EAC所成的角为θ，则sinθ=∴直线BD与平面EAC所成的角的正弦值.20、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得，再由椭圆参数关系、已知三角形面积求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）设直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求，进而可得，再根据求参数t，可得，结合椭圆的对称性求，即可求结果.【小问1详解】由的根为，所以椭圆的离心率，依题意，，解得，即椭圆的方程为；【小问2详解】设直线，联立，消去得，由韦达定理得：，所以，所以，所以椭圆的内接平行四边形面积.所以，解得或（舍去），所以，根据椭圆的对称性知：，故平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积为.21、（1）（2）【解析】（1）根据是，的等比中项，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：因为是，的等比中项，且，，所以，解得，，所以；【小问2