福建省福州市台江区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

福建省福州市台江区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)一、单选题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确的选项）1．（4分）如图所示APP程序图片中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．3．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝64．（4分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形5．（4分）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8 B．7 C．5 D．66．（4分）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2 B．3 C．5 D．77．（4分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点8．（4分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL9．（4分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每4分，满分24分）11．（4分）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝．12．（4分）等腰三角形的一边长为5，一边长为2，则该等腰三角形的周长为．13．（4分）如图，尺规作图保留了痕迹，我们得到的∠AOB＝72°，那么∠α的度数为．14．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为．15．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β＝度．16．（4分）如图∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝4，ON＝10，点P、Q分别在边OB、OA上，则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．（8分）如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正几边形？它的对角线的总条数是多少？18．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．19．（8分）求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（要求根据给出的图形写出已知、求证和证明过程．）20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°．求∠B，∠ADC的度数．21．（8分）图1和图2均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，不要求写出作法）（1）如图1，在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小；（2）如图2，在四边形ACBD的对角线CD上确定一点P，使∠APC＝∠BPC．22．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上BF＝CE，AC∥DF且AC＝DF．求证：AB∥DE．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．24．（12分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．25．（12分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．（1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；（2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小；（3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG．

参考答案与试题解析一、单选题（共10小题，每题4分，满分40分，每小题只有一个正确的选项）1．（4分）如图所示APP程序图片中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线（穿过圆中心竖直的直线或水平的直线），图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（4分）下列图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段BD是△ABD的高，不是△ABC的高，本选项不符合题意；B、线段BD是△DBC的高，不是△ABC的高，本选项不符合题意；C、线段BD是△ABC的高，本选项符合题意；D、线段BD是△ABD的高，不是△ABC的高，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．3．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝6【分析】根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件有SAS、AAS、ASA、SSS、HL，即可判断．【解答】解：A、错误．∵3+4＜8，不能够成三角形．B、正确．已知两角夹边，三角形就确定了．C、错误．边边角不能确定三角形．D、错误．一角一边不能确定三角形．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．4．（4分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出方程x+2x+3x＝180，求出x即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，∵∠A+∠B+∠C＝180，∴x+2x+3x＝180°，∴x＝30，∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，即△ABC是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．5．（4分）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8 B．7 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，求出x的取值范围，进而得到x的最大值．【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，∴1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．6．（4分）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．7．（4分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（4分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．9．（4分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．10．（4分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N．由角平分线的性质得出PM＝PN，PM＝PD，得出PM＝PN＝PD，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN＝180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD＝∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，得出∠ACB＝2∠APB，③正确；④由全等三角形的性质得出AD＝AM，CD＝CN，即可得出④正确；即可得出答案．【解答】解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴AD＝AM，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．二、填空题（共6小题，每4分，满分24分）11．（4分）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝120°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠B′即可．【解答】解：∵△ABC，∠A＝35°，∠C＝25°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠B＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．12．（4分）等腰三角形的一边长为5，一边长为2，则该等腰三角形的周长为12．【分析】由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案．【解答】解：①若5为腰长，2为底边长，∵5，5，2能组成三角形，∴此时周长为：5+5+2＝12；②若2为腰长，5为底边长，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形，故舍去；∴周长为12．故答案为：12．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．13．（4分）如图，尺规作图保留了痕迹，我们得到的∠AOB＝72°，那么∠α的度数为36°．【分析】由尺规作图可得∠AOB＝2∠α，由此可得2∠α＝72°，据此可求出∠α的度数．【解答】解：由尺规作图可知：∠AOB＝2∠α，∴2∠α＝72°，∴∠α＝36°．故答案为：36°．【点评】此题主要考查了角度的计算，尺规作图，读懂尺规作图是解决问题的关键．14．（4分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为26．【分析】根据平移的性质得到∠DEC＝∠B＝90°，DE＝AB＝8，BE＝4，S△ABC＝S△DEF，则HE＝5，然后利用S阴影部分＝S梯形ABEH进行计算．【解答】解：∵三角形ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为4，∴∠DEC＝∠B＝90°，DE＝AB＝8，BE＝4，S△ABC＝S△DEF，∵DH＝3，∴HE＝5，∵S阴影部分+S△HEC＝S△HEC+S梯形ABEH，∴S阴影部分＝S梯形ABEH＝×（5+8）×4＝26．故答案为：26．【点评】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β＝45度．【分析】连接BC，根据勾股定理AB＝BC＝＝，AC＝＝，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，求得∠BAC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：连接BC，∵AB＝BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AB＝BC＝，AE＝BD＝1，BE＝CD＝2，∴△ABE≌△BCD，∴∠ACD＝∠ABE＝α，∵AE∥CD，∴∠DCA＝∠CAE＝β，∴α+β＝∠BCA＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了全等图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16．（4分）如图∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝4，ON＝10，点P、Q分别在边OB、OA上，则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝20．【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，S△NOQ+S△QOP+S△MOP即为Rt△M′ON′的面积．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∵OM'＝OM＝4，ON'＝ON＝10，∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝S△N'OQ+S△QOP+S△M'OP＝S△M′ON′＝OM′•ON′＝＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．（8分）如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正几边形？它的对角线的总条数是多少？【分析】根据多边形的内角和公式可得多边形的边数，再根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．【解答】解：设多边形的边数是n，由题意得（n﹣2）×180°＝900°，解得n＝7，对角线的总条数是：＝14（条）．答：这个多边形是正七边形，对角线的总条数是14条．【点评】本题考查了多边形内角与外角的关系，多边形的对角线，由内角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．18．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．19．（8分）求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（要求根据给出的图形写出已知、求证和证明过程．）【分析】根据题目中的条件和SAS的判定方法，可以证明△ADC≌△AEB，然后即可得到BE＝CD．【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线．求证：BE＝CD．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线，∴AD＝AE，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，即等腰三角形两腰上的中线相等．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°．求∠B，∠ADC的度数．【分析】由角平分线的性质得到∠ACB＝2∠BCD＝62°，所以在△ABC中，利用三角形内角和定理来求∠B的度数；利用△BCD外角性质来求∠ADC的度数．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，∴∠ACB＝2∠BCD＝62°，又∵∠A＝68°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝50°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝50°+31°＝81°．综上所述，∠B，∠ADC的度数分别是50°，81°．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质．解题时，要挖掘出隐含在题干中的已知条件：三角形内角和是180度．21．（8分）图1和图2均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，不要求写出作法）（1）如图1，在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小；（2）如图2，在四边形ACBD的对角线CD上确定一点P，使∠APC＝∠BPC．【分析】（1）如图1，作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于Q，Q点即为所求；（2）如图2，作B关于CD的对称点B′，连接AB′并延长交CD于P，P点即为所求．【解答】解：（1）如图1，作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于Q，此时QA+QB＝QA+QB′＝AB′，根据两点之间线段最短，此时QA+QB最小；（2）如图2，作B关于CD的对称点B′，连接AB′并延长交CD于P，此时∠APC＝∠BPC．【点评】本题考查了轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上BF＝CE，AC∥DF且AC＝DF．求证：AB∥DE．【分析】依据全等三角形的性质可得到∠B＝∠E，最后依据内错角相等两直线平行进行证明即可．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴∠B＝∠E．∴AB∥DE．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．24．（12分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．【分析】确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN＝PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC＝PQ；从而得到PC＝AN．【解答】证明：∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝ANM＝90°，∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PAQ＝∠AMN，∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°，在△AQP和△MNA中，∴△AQP≌△MNA（ASA）∵AN＝PQAM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥B