《复变函数与积分变换》§3.2 柯西积分定理与原函数_第1页
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§3.2柯西积分定理与原函数柯西定理及其推论一定理3.2设f(z)在单连通域E内解析,C为E内任一简单闭曲线，则“在E内连续”的条件下进行证明．只就令则1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关．证明柯西定理及其推论一在E内连续有由的偏导数在E内连续，并适合C－R条件：所以由格林公式得即回顾格林公式柯西定理及其推论一定理3.3如果函数f(z)在单连通域E内解析，那么只与起而与C的路径无关．点与终点有关，例1设C是正向圆周则以下积分都等于0．(1)(2)(3)原函数与不定积分二若在E内固定起点在E内变化，而让终点曲线，则就定义了一个单值函数，记为：设f(z)在单连通域E内解析，点在E内解析，且C为连接与的任定理3.4在E内解析，则原函数与不定积分二因f(z)在E内解析，由定理2，F(z)与路径无关，从而P(x,y)与所以P(x,y)与Q(x,y)在E内可微，并且有从而有所以F(z)为解析函数，且证明Q(x,y)路径无关，原函数与不定积分二

f(z)的任两个原函数只相差一个常数．若函数f(z)在区域D内解析，一个原函数，设函数f(z)在区域D内连续，若D内的函数满足条件则称为f(z)在D内的一个原函数，f(z)的是f(z)在D内的则定理3.5定义3.2全体原函数称为f(z)的不定积分．原函数与不定积分二证明为f(z)的一个原函数令得令得原函数与不定积分二例2计算下列积分．解：1）2）三复合闭路定理（柯西定理的推广）区域D内一条正向简单闭曲线与内部的有限条互不包含互不相交的负向闭曲线组成，即有复合闭路C三复合闭路定理（柯西定理的推广）如果f

(z)在多连通域D内解析，复合闭路所围成的区域全包含于D中，那么即定理3.6（复合闭路定理）三复合闭路定理（柯西定理的推广）证明如图所示：且全在D内的辅助割线使分别与形成一个以f(z)在该区域内解析，为边界的单连通区域，注意到沿与沿的积分相抵消，即得作n条互不相交，连接,从而三复合闭路定理（柯西定理的推广）若f(z)在以为边界的闭环形域中解析，则有闭路变形公式三复合闭路定理（柯西定理的推广）例3设C为包含的任一条正向闭曲线．求：（n为整数)解以为圆心作圆C1，使C1包含于C内，由复合闭路定理得：三复合闭路定理（柯西定理的推广）例4计算的值，其中C为内部包含z=0和z=1的任何正向简单闭曲线．解三复合闭路定理（柯西定理的推广）格林(Green)公式设D是以光滑曲线C为边界的单连通区域(也可为一般区域，此时，C是多条光滑或按段光滑的曲线组成，

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